- 20,305
- 46
- 8 Ноя 2022
Как мы слышим музыку? Французский заключенный нашел ответ и изменил всю науку на века вперёд.
Почти двести лет назад французский математик Жан-Батист Жозеф Фурье предложил метод , который изменил и математику, и естественные науки. Его идея объяснила то, что слуховой аппарат делает автоматически: разделяет сложный звуковой поток на отдельные частоты. Когда одновременно звучат флейта, скрипка и контрабас, в улитке внутреннего уха волосковые клетки разных размеров резонируют на свой диапазон тонов. Так хаотичный сигнал распадается на набор простейших составляющих. Фурье показал, что любой математический сигнал можно разложить на бесконечное множество элементарных волн, а затем сложить обратно и получить исходную функцию.
Этот метод, названный преобразованием Фурье, стал фундаментом нового направления — гармонического анализа. Со временем он связал математику с физикой , химией и инженерными дисциплинами: от теории чисел и дифференциальных уравнений до квантовой механики. Сегодня без него невозможно представить обработку сигналов, сжатие изображений и аудио, радиолокацию и магнитно-резонансную томографию.
Фурье родился в 1768 году во Франции, рано осиротел и учился в монастыре. Некоторое время он колебался между духовным путём и наукой, но выбрал математику. Во время Французской революции участвовал в политической жизни и в годы террора оказался в тюрьме, ожидая казни. Его спасло падение режима. Позже он стал советником Наполеона и отправился в Египет, где, помимо изучения древностей, занялся задачами теплопроводности. Изучая, как нагрев распространяется по металлическому стержню, он предположил, что распределение температуры можно описать суммой волн, каждая из которых постепенно затухает. Эта идея и привела к созданию его знаменитого метода.
В 1807 году, когда Фурье представил работу в Парижском институте, авторитетные математики, включая Жозефа-Луи Лагранжа, посчитали её невозможной. Наибольшее сомнение вызывало утверждение, что даже резкие скачки температуры — например, когда половина стержня холодная, а половина горячая — можно описать бесконечной суммой гладких функций. Сегодня известно, что это действительно так: любой сигнал можно представить как комбинацию простейших колебаний.
Преобразование Фурье действует как обоняние, различающее компоненты аромата, или слух, выделяющий отдельные ноты в аккорде. На вход подаётся сложная функция, на выходе получается набор частот и коэффициентов, показывающих вклад каждой из них. Для проверки берётся синус или косинус нужной частоты, умножается на исходную функцию, и анализируется результат: если пики сохраняются — частота есть, если график усредняется к нулю — её нет.
В случае цифрового прямоугольного импульса преобразование Фурье выдаёт бесконечный набор гармоник, которые вместе воспроизводят резкий переход. Этот бесконечный ряд получил название ряд Фурье и стал универсальным инструментом анализа.
Метод одинаково применим и к двумерным функциям, например изображениям. Серое изображение описывается распределением яркости по пикселям. Преобразование Фурье раскладывает его на набор двумерных частотных узоров — полос в разных направлениях или шахматных сеток. Любое изображение можно собрать из их комбинаций. Алгоритмы сжатия , такие как JPEG, используют этот принцип, удаляя детали высокой частоты, почти неразличимые для глаза.
В 1960-е годы Джеймс Кули и Джон Тьюки разработали алгоритм быстрого преобразования Фурье, сделав вычисления доступными для компьютеров. С тех пор метод применяется повсюду: в обработке аудио, анализе приливов, поиске гравитационных волн, радиолокации, медицинской диагностике. В квантовой механике именно преобразование Фурье лежит в основе принципа неопределённости: функция положения частицы и функция её импульса связаны этим инструментом, поэтому нельзя одновременно точно знать оба параметра.
Гармонический анализ, выросший из идей Фурье, глубоко проник и в чистую математику. Он открыл новые пути в теории чисел, позволил исследовать распределение простых чисел и другие фундаментальные задачи.
Современники сомневались в его выводах, но время доказало их значимость. Сегодня преобразование Фурье используют везде — от смартфонов до астрофизики. Как отметил математик Лесли Грингард, его влияние охватывает практически все области точных наук. А Чарльз Фефферман из Принстона сравнил набор гармоник с оркестром, способным воспроизвести целую симфонию.
Без преобразования Фурье значительная часть современной науки и технологий попросту не существовала бы.
Почти двести лет назад французский математик Жан-Батист Жозеф Фурье предложил метод , который изменил и математику, и естественные науки. Его идея объяснила то, что слуховой аппарат делает автоматически: разделяет сложный звуковой поток на отдельные частоты. Когда одновременно звучат флейта, скрипка и контрабас, в улитке внутреннего уха волосковые клетки разных размеров резонируют на свой диапазон тонов. Так хаотичный сигнал распадается на набор простейших составляющих. Фурье показал, что любой математический сигнал можно разложить на бесконечное множество элементарных волн, а затем сложить обратно и получить исходную функцию.
Этот метод, названный преобразованием Фурье, стал фундаментом нового направления — гармонического анализа. Со временем он связал математику с физикой , химией и инженерными дисциплинами: от теории чисел и дифференциальных уравнений до квантовой механики. Сегодня без него невозможно представить обработку сигналов, сжатие изображений и аудио, радиолокацию и магнитно-резонансную томографию.
Фурье родился в 1768 году во Франции, рано осиротел и учился в монастыре. Некоторое время он колебался между духовным путём и наукой, но выбрал математику. Во время Французской революции участвовал в политической жизни и в годы террора оказался в тюрьме, ожидая казни. Его спасло падение режима. Позже он стал советником Наполеона и отправился в Египет, где, помимо изучения древностей, занялся задачами теплопроводности. Изучая, как нагрев распространяется по металлическому стержню, он предположил, что распределение температуры можно описать суммой волн, каждая из которых постепенно затухает. Эта идея и привела к созданию его знаменитого метода.
В 1807 году, когда Фурье представил работу в Парижском институте, авторитетные математики, включая Жозефа-Луи Лагранжа, посчитали её невозможной. Наибольшее сомнение вызывало утверждение, что даже резкие скачки температуры — например, когда половина стержня холодная, а половина горячая — можно описать бесконечной суммой гладких функций. Сегодня известно, что это действительно так: любой сигнал можно представить как комбинацию простейших колебаний.
Преобразование Фурье действует как обоняние, различающее компоненты аромата, или слух, выделяющий отдельные ноты в аккорде. На вход подаётся сложная функция, на выходе получается набор частот и коэффициентов, показывающих вклад каждой из них. Для проверки берётся синус или косинус нужной частоты, умножается на исходную функцию, и анализируется результат: если пики сохраняются — частота есть, если график усредняется к нулю — её нет.
В случае цифрового прямоугольного импульса преобразование Фурье выдаёт бесконечный набор гармоник, которые вместе воспроизводят резкий переход. Этот бесконечный ряд получил название ряд Фурье и стал универсальным инструментом анализа.
Метод одинаково применим и к двумерным функциям, например изображениям. Серое изображение описывается распределением яркости по пикселям. Преобразование Фурье раскладывает его на набор двумерных частотных узоров — полос в разных направлениях или шахматных сеток. Любое изображение можно собрать из их комбинаций. Алгоритмы сжатия , такие как JPEG, используют этот принцип, удаляя детали высокой частоты, почти неразличимые для глаза.
В 1960-е годы Джеймс Кули и Джон Тьюки разработали алгоритм быстрого преобразования Фурье, сделав вычисления доступными для компьютеров. С тех пор метод применяется повсюду: в обработке аудио, анализе приливов, поиске гравитационных волн, радиолокации, медицинской диагностике. В квантовой механике именно преобразование Фурье лежит в основе принципа неопределённости: функция положения частицы и функция её импульса связаны этим инструментом, поэтому нельзя одновременно точно знать оба параметра.
Гармонический анализ, выросший из идей Фурье, глубоко проник и в чистую математику. Он открыл новые пути в теории чисел, позволил исследовать распределение простых чисел и другие фундаментальные задачи.
Современники сомневались в его выводах, но время доказало их значимость. Сегодня преобразование Фурье используют везде — от смартфонов до астрофизики. Как отметил математик Лесли Грингард, его влияние охватывает практически все области точных наук. А Чарльз Фефферман из Принстона сравнил набор гармоник с оркестром, способным воспроизвести целую симфонию.
Без преобразования Фурье значительная часть современной науки и технологий попросту не существовала бы.
- Источник новости
- www.securitylab.ru
