- 23,032
- 46
- 8 Ноя 2022
Мир чисел больше никогда не будет прежним.
Математика часто кажется областью, где всё давно разложено по полкам. Есть определения, есть теоремы, есть доказательства, проверенные десятилетиями. Со стороны может возникнуть ощущение, что неожиданностям здесь просто неоткуда взяться, а новые результаты появляются лишь как небольшие уточнения уже известного. Но внутри профессии всё выглядит иначе. Математики постоянно сталкиваются с ситуациями, когда привычные представления перестают работать, а старые задачи внезапно открываются с неожиданной стороны. Именно такие моменты и сделали 2025 год особенно насыщенным: в нём сошлись истории о свежем взгляде подростка, о возвращении к старым проблемам спустя годы и о том, как даже самые базовые понятия могут оказаться куда сложнее, чем кажется.
Кайро выросла на Багамах и училась дома. Рядом не было ни математических кружков, ни университетской среды, поэтому почти всё обучение происходило через интернет. Она смотрела обучающие видео, читала доступные материалы и много времени проводила за самостоятельной работой. Такой формат давал свободу, но одновременно усиливал чувство одиночества: каждый день проходил в одном и том же месте, без ощущения движения вперёд в обычном, жизненном смысле.
Математика стала для неё способом вырваться из этой замкнутости. Вместо повторяющихся будней появилось пространство идей, где всегда можно было найти новую задачу и новый маршрут. Позже Кайро переехала в Калифорнию и начала посещать занятия уровня магистратуры в Калифорнийском университете в Беркли. Там она познакомилась с гипотезой, сформулированной около 40 лет назад, которая описывала, как должны вести себя определённые математические функции. Утверждение выглядело настолько правдоподобным, что многие специалисты почти не сомневались в его корректности, несмотря на отсутствие строгого доказательства.
Кайро несколько месяцев последовательно разбирала эту задачу и в итоге нашла контрпример — конкретный пример, который показывает, что гипотеза неверна. Для математики это особенно сильный результат: контрпример не просто говорит «это не так», он точно показывает, где и почему привычное представление ломается. В данном случае выяснилось, что функции могут вести себя гораздо страннее и непредсказуемее, чем считалось раньше. Свежий взгляд и отсутствие привязанности к устоявшимся ожиданиям сыграли ключевую роль — Кайро увидела то, что опытные математики долго не замечали.
<!--'start_frame_cache_Zg1Ab0'--><div class="banner-detailed"><div class="banner-detailed__shell"><div class="banner-detailed__title">Запрещённые знания хакеров — только для своих. <span>Подпишитесь на нас</span><div class="banner-detailed__arrow"><svg viewBox="0 0 40 40" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M20.5375 34.4392L22.465 31.7392C22.5739 31.5872 22.7145 31.4607 22.8772 31.3684C23.0399 31.2762 23.2207 31.2205 23.407 31.2052C23.5934 31.1898 23.7809 31.2152 23.9564 31.2796C24.132 31.344 24.2915 31.4458 24.4237 31.578L29.6025 36.758C30.0787 37.2333 30.724 37.5002 31.3969 37.5002C32.0697 37.5002 32.715 37.2333 33.1912 36.758L36.7575 33.1917C37.2328 32.7155 37.4998 32.0702 37.4998 31.3973C37.4998 30.7245 37.2328 30.0792 36.7575 29.603L31.5775 24.4242C31.4453 24.2919 31.3435 24.1325 31.2791 23.9569C31.2147 23.7814 31.1893 23.5939 31.2047 23.4075C31.22 23.2211 31.2757 23.0404 31.368 22.8777C31.4602 22.715 31.5867 22.5743 31.7387 22.4655L34.4387 20.538C34.6405 20.3939 34.7965 20.1947 34.8878 19.9641C34.9791 19.7336 35.0018 19.4816 34.9534 19.2385C34.9049 18.9953 34.7873 18.7713 34.6146 18.5934C34.442 18.4155 34.2216 18.2912 33.98 18.2355L13.5112 13.5117L18.235 33.9805C18.2907 34.2221 18.415 34.4425 18.5929 34.6151C18.7708 34.7878 18.9948 34.9054 19.238 34.9539C19.4812 35.0023 19.7331 34.9795 19.9637 34.8882C20.1942 34.7969 20.3934 34.641 20.5375 34.4392Z" fill="#FFD98C"></path><path d="M34.0751 37.6413C33.3582 38.3389 32.3973 38.7293 31.397 38.7293C30.3966 38.7293 29.4358 38.3389 28.7189 37.6413L23.4826 32.4663L21.5539 35.165C21.2699 35.5626 20.8773 35.8698 20.423 36.0497C19.9688 36.2295 19.4723 36.2744 18.9931 36.179C18.514 36.0836 18.0726 35.8518 17.7219 35.5117C17.3713 35.1715 17.1263 34.7373 17.0164 34.2613L12.2926 13.7925C12.2447 13.5858 12.2502 13.3702 12.3086 13.1662C12.367 12.9622 12.4764 12.7764 12.6264 12.6263C12.7765 12.4763 12.9623 12.3669 13.1663 12.3085C13.3703 12.2501 13.5859 12.2446 13.7926 12.2925L34.2614 17.0175C34.7374 17.1271 35.1717 17.3719 35.512 17.7225C35.8523 18.073 36.0841 18.5144 36.1795 18.9935C36.275 19.4726 36.23 19.9691 36.0501 20.4233C35.8701 20.8775 35.5628 21.27 35.1651 21.5538L32.4614 23.54L37.6414 28.7188C38.3498 29.43 38.7476 30.393 38.7476 31.3969C38.7476 32.4008 38.3498 33.3637 37.6414 34.075L34.0751 37.6413ZM35.8751 30.4863L30.6951 25.3075C30.4344 25.047 30.2336 24.7328 30.1068 24.3868C29.9799 24.0407 29.9299 23.6712 29.9604 23.3039C29.9908 22.9366 30.101 22.5804 30.2831 22.26C30.4653 21.9396 30.7151 21.6628 31.0151 21.4488L33.6989 19.4488L15.1851 15.1763L19.5001 33.7275L19.5139 33.7113L21.4414 31.0125C21.6555 30.7124 21.9325 30.4626 22.253 30.2805C22.5735 30.0983 22.9298 29.9882 23.2972 29.9577C23.6646 29.9272 24.0342 29.9772 24.3803 30.1041C24.7264 30.231 25.0407 30.4318 25.3014 30.6925L30.4864 35.875C30.728 36.1163 31.0555 36.2518 31.397 36.2518C31.7385 36.2518 32.066 36.1163 32.3076 35.875L35.8751 32.3075C36.1161 32.0657 36.2514 31.7383 36.2514 31.3969C36.2514 31.0555 36.1161 30.728 35.8751 30.4863ZM8.14636 9.385C7.98292 9.38706 7.82069 9.35675 7.66901 9.29583C7.51733 9.2349 7.37921 9.14455 7.26261 9.03L4.58011 6.3475C4.35242 6.11175 4.22643 5.796 4.22927 5.46825C4.23212 5.1405 4.36358 4.82699 4.59534 4.59523C4.8271 4.36347 5.14062 4.23201 5.46836 4.22916C5.79611 4.22631 6.11186 4.3523 6.34761 4.58L9.03012 7.2625C9.20107 7.43787 9.31674 7.65959 9.36277 7.90013C9.4088 8.14068 9.38315 8.38944 9.28901 8.61553C9.19487 8.84162 9.03639 9.03508 8.83325 9.17188C8.63011 9.30867 8.39126 9.38278 8.14636 9.385ZM17.9726 9.03C17.7362 9.26044 17.419 9.3894 17.0889 9.3894C16.7587 9.3894 16.4416 9.26044 16.2051 9.03C15.9708 8.79559 15.8391 8.47771 15.8391 8.14625C15.8391 7.8148 15.9708 7.49691 16.2051 7.2625L18.8876 4.58C19.0029 4.46061 19.1409 4.36538 19.2934 4.29987C19.4459 4.23436 19.6099 4.19988 19.7759 4.19844C19.9418 4.197 20.1064 4.22862 20.2601 4.29147C20.4137 4.35432 20.5532 4.44714 20.6706 4.56451C20.788 4.68187 20.8808 4.82144 20.9436 4.97506C21.0065 5.12868 21.0381 5.29328 21.0367 5.45925C21.0352 5.62523 21.0008 5.78925 20.9352 5.94176C20.8697 6.09426 20.7745 6.23219 20.6551 6.3475L17.9726 9.03ZM6.34761 20.655C6.11146 20.886 5.79423 21.0154 5.46386 21.0154C5.1335 21.0154 4.81627 20.886 4.58011 20.655C4.34578 20.4206 4.21413 20.1027 4.21413 19.7713C4.21413 19.4398 4.34578 19.1219 4.58011 18.8875L7.26261 16.205C7.37792 16.0856 7.51585 15.9904 7.66836 15.9249C7.82086 15.8594 7.98489 15.8249 8.15086 15.8234C8.31684 15.822 8.48144 15.8536 8.63506 15.9165C8.78868 15.9793 8.92824 16.0721 9.04561 16.1895C9.16297 16.3069 9.25579 16.4464 9.31864 16.6001C9.38149 16.7537 9.41312 16.9183 9.41168 17.0843C9.41024 17.2502 9.37575 17.4143 9.31024 17.5668C9.24473 17.7193 9.1495 17.8572 9.03012 17.9725L6.34761 20.655ZM12.6176 7.54375C12.2861 7.54375 11.9682 7.41205 11.7337 7.17763C11.4993 6.94321 11.3676 6.62527 11.3676 6.29375V2.5C11.3676 2.16848 11.4993 1.85054 11.7337 1.61612C11.9682 1.3817 12.2861 1.25 12.6176 1.25C12.9491 1.25 13.2671 1.3817 13.5015 1.61612C13.7359 1.85054 13.8676 2.16848 13.8676 2.5V6.29375C13.8676 6.62527 13.7359 6.94321 13.5015 7.17763C13.2671 7.41205 12.9491 7.54375 12.6176 7.54375ZM2.50011 11.3675H6.29387C6.62539 11.3675 6.94333 11.4992 7.17775 11.7336C7.41217 11.968 7.54387 12.286 7.54387 12.6175C7.54387 12.949 7.41217 13.267 7.17775 13.5014C6.94333 13.7358 6.62539 13.8675 6.29387 13.8675H2.50011C2.16859 13.8675 1.85065 13.7358 1.61623 13.5014C1.38181 13.267 1.25011 12.949 1.25011 12.6175C1.25011 12.286 1.38181 11.968 1.61623 11.7336C1.85065 11.4992 2.16859 11.3675 2.50011 11.3675Z" fill="#272727"></path></svg> <!--'end_frame_cache_Zg1Ab0'-->
На первый взгляд связь между таким фракталом и квантовой физике кажется почти случайной. Но именно она помогает понять, как электроны ведут себя в кристаллах под действием магнитного поля. Задача оказалась настолько сложной, что когда-то математик в шутку пообещал угостить 10 мартини того, кто сможет с ней справиться.
Решение появилось ещё в 2004 году, однако оно не всех удовлетворило. Один из авторов того доказательства, Светлана Житомирская, считала его слишком разрозненным: результат был верным, но методы выглядели как набор отдельных приёмов, плохо связанных друг с другом. Такой подход закрывает конкретную проблему, но не даёт глубокого понимания того, почему всё устроено именно так.
Спустя 20 лет Житомирская вместе с коллегами вернулась к этой задаче и предложила новое доказательство, которое оказалось гораздо более универсальным. Оно не только подтверждает существование фрактальной структуры, но и показывает, что связь между теорией чисел и квантовой физикой имеет фундаментальный характер. По дороге в эту историю попадают характерные для математической культуры детали: странные графики, необычные вычислительные инструменты и отсылки к книгам, где математика соседствует с музыкой и искусством.
За этим следуют ещё более экзотические виды бесконечностей, которые почти невозможно представить на бытовом уровне. В 1930-х годах Курт Гёдель показал, что в любой достаточно сложной математической системе существуют истинные утверждения, которые невозможно доказать. Это означает, что математическая картина мира принципиально неполна.
Недавние работы группы математиков добавили к этому ещё один слой сложности. Они предложили два новых типа бесконечности, которые, по их утверждению, ведут себя не так, как принято ожидать. Это направление выглядит спорным и экспериментальным: здесь проверяют, насколько далеко можно отойти от привычных допущений. Если эти идеи подтвердятся, они будут означать, что математическая вселенная устроена куда менее аккуратно, чем хотелось бы думать.
Недавние исследования предложили новые методы, которые позволили доказать иррациональность сразу для целого набора важных чисел. Эти подходы дали математикам более надёжные инструменты для работы с числовой прямой — областью, которая кажется знакомой каждому со школы, но на деле до сих пор хранит множество сюрпризов.
Математики столетиями искали исключение — выпуклый многогранник, у которого такого свойства нет. В 2025 году пример наконец нашли. Фигура с 90 вершинами и 152 гранями получила название нопертэдр и стала первым известным объектом этого типа.
В том же году удалось добиться ещё одного неожиданного результата: был построен тетраэдр, который может устойчиво стоять только на одной из 4 граней. Если попытаться поставить его на любую другую сторону, фигура неизбежно переворачивается. Даже самые простые геометрические формы продолжают преподносить сюрпризы, если смотреть на них достаточно внимательно.
Математика часто кажется областью, где всё давно разложено по полкам. Есть определения, есть теоремы, есть доказательства, проверенные десятилетиями. Со стороны может возникнуть ощущение, что неожиданностям здесь просто неоткуда взяться, а новые результаты появляются лишь как небольшие уточнения уже известного. Но внутри профессии всё выглядит иначе. Математики постоянно сталкиваются с ситуациями, когда привычные представления перестают работать, а старые задачи внезапно открываются с неожиданной стороны. Именно такие моменты и сделали 2025 год особенно насыщенным: в нём сошлись истории о свежем взгляде подростка, о возвращении к старым проблемам спустя годы и о том, как даже самые базовые понятия могут оказаться куда сложнее, чем кажется.
В 17 лет Ханна Кайро разобралась с крупной математической задачей
Одной из самых обсуждаемых историй года стала работа Ханны Кайро — школьницы, которая в 17 лет решила важную задачу из гармонического анализа . Эта область математики занимается тем, как сложные функции можно разбирать на более простые составляющие, похожие на волны. Такие идеи используются, например, при анализе звука или сигналов, но в теоретической форме они уходят далеко от прикладных примеров и требуют очень тонкой интуиции.Кайро выросла на Багамах и училась дома. Рядом не было ни математических кружков, ни университетской среды, поэтому почти всё обучение происходило через интернет. Она смотрела обучающие видео, читала доступные материалы и много времени проводила за самостоятельной работой. Такой формат давал свободу, но одновременно усиливал чувство одиночества: каждый день проходил в одном и том же месте, без ощущения движения вперёд в обычном, жизненном смысле.
Математика стала для неё способом вырваться из этой замкнутости. Вместо повторяющихся будней появилось пространство идей, где всегда можно было найти новую задачу и новый маршрут. Позже Кайро переехала в Калифорнию и начала посещать занятия уровня магистратуры в Калифорнийском университете в Беркли. Там она познакомилась с гипотезой, сформулированной около 40 лет назад, которая описывала, как должны вести себя определённые математические функции. Утверждение выглядело настолько правдоподобным, что многие специалисты почти не сомневались в его корректности, несмотря на отсутствие строгого доказательства.
Кайро несколько месяцев последовательно разбирала эту задачу и в итоге нашла контрпример — конкретный пример, который показывает, что гипотеза неверна. Для математики это особенно сильный результат: контрпример не просто говорит «это не так», он точно показывает, где и почему привычное представление ломается. В данном случае выяснилось, что функции могут вести себя гораздо страннее и непредсказуемее, чем считалось раньше. Свежий взгляд и отсутствие привязанности к устоявшимся ожиданиям сыграли ключевую роль — Кайро увидела то, что опытные математики долго не замечали.
<!--'start_frame_cache_Zg1Ab0'--><div class="banner-detailed"><div class="banner-detailed__shell"><div class="banner-detailed__title">Запрещённые знания хакеров — только для своих. <span>Подпишитесь на нас</span><div class="banner-detailed__arrow"><svg viewBox="0 0 40 40" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M20.5375 34.4392L22.465 31.7392C22.5739 31.5872 22.7145 31.4607 22.8772 31.3684C23.0399 31.2762 23.2207 31.2205 23.407 31.2052C23.5934 31.1898 23.7809 31.2152 23.9564 31.2796C24.132 31.344 24.2915 31.4458 24.4237 31.578L29.6025 36.758C30.0787 37.2333 30.724 37.5002 31.3969 37.5002C32.0697 37.5002 32.715 37.2333 33.1912 36.758L36.7575 33.1917C37.2328 32.7155 37.4998 32.0702 37.4998 31.3973C37.4998 30.7245 37.2328 30.0792 36.7575 29.603L31.5775 24.4242C31.4453 24.2919 31.3435 24.1325 31.2791 23.9569C31.2147 23.7814 31.1893 23.5939 31.2047 23.4075C31.22 23.2211 31.2757 23.0404 31.368 22.8777C31.4602 22.715 31.5867 22.5743 31.7387 22.4655L34.4387 20.538C34.6405 20.3939 34.7965 20.1947 34.8878 19.9641C34.9791 19.7336 35.0018 19.4816 34.9534 19.2385C34.9049 18.9953 34.7873 18.7713 34.6146 18.5934C34.442 18.4155 34.2216 18.2912 33.98 18.2355L13.5112 13.5117L18.235 33.9805C18.2907 34.2221 18.415 34.4425 18.5929 34.6151C18.7708 34.7878 18.9948 34.9054 19.238 34.9539C19.4812 35.0023 19.7331 34.9795 19.9637 34.8882C20.1942 34.7969 20.3934 34.641 20.5375 34.4392Z" fill="#FFD98C"></path><path d="M34.0751 37.6413C33.3582 38.3389 32.3973 38.7293 31.397 38.7293C30.3966 38.7293 29.4358 38.3389 28.7189 37.6413L23.4826 32.4663L21.5539 35.165C21.2699 35.5626 20.8773 35.8698 20.423 36.0497C19.9688 36.2295 19.4723 36.2744 18.9931 36.179C18.514 36.0836 18.0726 35.8518 17.7219 35.5117C17.3713 35.1715 17.1263 34.7373 17.0164 34.2613L12.2926 13.7925C12.2447 13.5858 12.2502 13.3702 12.3086 13.1662C12.367 12.9622 12.4764 12.7764 12.6264 12.6263C12.7765 12.4763 12.9623 12.3669 13.1663 12.3085C13.3703 12.2501 13.5859 12.2446 13.7926 12.2925L34.2614 17.0175C34.7374 17.1271 35.1717 17.3719 35.512 17.7225C35.8523 18.073 36.0841 18.5144 36.1795 18.9935C36.275 19.4726 36.23 19.9691 36.0501 20.4233C35.8701 20.8775 35.5628 21.27 35.1651 21.5538L32.4614 23.54L37.6414 28.7188C38.3498 29.43 38.7476 30.393 38.7476 31.3969C38.7476 32.4008 38.3498 33.3637 37.6414 34.075L34.0751 37.6413ZM35.8751 30.4863L30.6951 25.3075C30.4344 25.047 30.2336 24.7328 30.1068 24.3868C29.9799 24.0407 29.9299 23.6712 29.9604 23.3039C29.9908 22.9366 30.101 22.5804 30.2831 22.26C30.4653 21.9396 30.7151 21.6628 31.0151 21.4488L33.6989 19.4488L15.1851 15.1763L19.5001 33.7275L19.5139 33.7113L21.4414 31.0125C21.6555 30.7124 21.9325 30.4626 22.253 30.2805C22.5735 30.0983 22.9298 29.9882 23.2972 29.9577C23.6646 29.9272 24.0342 29.9772 24.3803 30.1041C24.7264 30.231 25.0407 30.4318 25.3014 30.6925L30.4864 35.875C30.728 36.1163 31.0555 36.2518 31.397 36.2518C31.7385 36.2518 32.066 36.1163 32.3076 35.875L35.8751 32.3075C36.1161 32.0657 36.2514 31.7383 36.2514 31.3969C36.2514 31.0555 36.1161 30.728 35.8751 30.4863ZM8.14636 9.385C7.98292 9.38706 7.82069 9.35675 7.66901 9.29583C7.51733 9.2349 7.37921 9.14455 7.26261 9.03L4.58011 6.3475C4.35242 6.11175 4.22643 5.796 4.22927 5.46825C4.23212 5.1405 4.36358 4.82699 4.59534 4.59523C4.8271 4.36347 5.14062 4.23201 5.46836 4.22916C5.79611 4.22631 6.11186 4.3523 6.34761 4.58L9.03012 7.2625C9.20107 7.43787 9.31674 7.65959 9.36277 7.90013C9.4088 8.14068 9.38315 8.38944 9.28901 8.61553C9.19487 8.84162 9.03639 9.03508 8.83325 9.17188C8.63011 9.30867 8.39126 9.38278 8.14636 9.385ZM17.9726 9.03C17.7362 9.26044 17.419 9.3894 17.0889 9.3894C16.7587 9.3894 16.4416 9.26044 16.2051 9.03C15.9708 8.79559 15.8391 8.47771 15.8391 8.14625C15.8391 7.8148 15.9708 7.49691 16.2051 7.2625L18.8876 4.58C19.0029 4.46061 19.1409 4.36538 19.2934 4.29987C19.4459 4.23436 19.6099 4.19988 19.7759 4.19844C19.9418 4.197 20.1064 4.22862 20.2601 4.29147C20.4137 4.35432 20.5532 4.44714 20.6706 4.56451C20.788 4.68187 20.8808 4.82144 20.9436 4.97506C21.0065 5.12868 21.0381 5.29328 21.0367 5.45925C21.0352 5.62523 21.0008 5.78925 20.9352 5.94176C20.8697 6.09426 20.7745 6.23219 20.6551 6.3475L17.9726 9.03ZM6.34761 20.655C6.11146 20.886 5.79423 21.0154 5.46386 21.0154C5.1335 21.0154 4.81627 20.886 4.58011 20.655C4.34578 20.4206 4.21413 20.1027 4.21413 19.7713C4.21413 19.4398 4.34578 19.1219 4.58011 18.8875L7.26261 16.205C7.37792 16.0856 7.51585 15.9904 7.66836 15.9249C7.82086 15.8594 7.98489 15.8249 8.15086 15.8234C8.31684 15.822 8.48144 15.8536 8.63506 15.9165C8.78868 15.9793 8.92824 16.0721 9.04561 16.1895C9.16297 16.3069 9.25579 16.4464 9.31864 16.6001C9.38149 16.7537 9.41312 16.9183 9.41168 17.0843C9.41024 17.2502 9.37575 17.4143 9.31024 17.5668C9.24473 17.7193 9.1495 17.8572 9.03012 17.9725L6.34761 20.655ZM12.6176 7.54375C12.2861 7.54375 11.9682 7.41205 11.7337 7.17763C11.4993 6.94321 11.3676 6.62527 11.3676 6.29375V2.5C11.3676 2.16848 11.4993 1.85054 11.7337 1.61612C11.9682 1.3817 12.2861 1.25 12.6176 1.25C12.9491 1.25 13.2671 1.3817 13.5015 1.61612C13.7359 1.85054 13.8676 2.16848 13.8676 2.5V6.29375C13.8676 6.62527 13.7359 6.94321 13.5015 7.17763C13.2671 7.41205 12.9491 7.54375 12.6176 7.54375ZM2.50011 11.3675H6.29387C6.62539 11.3675 6.94333 11.4992 7.17775 11.7336C7.41217 11.968 7.54387 12.286 7.54387 12.6175C7.54387 12.949 7.41217 13.267 7.17775 13.5014C6.94333 13.7358 6.62539 13.8675 6.29387 13.8675H2.50011C2.16859 13.8675 1.85065 13.7358 1.61623 13.5014C1.38181 13.267 1.25011 12.949 1.25011 12.6175C1.25011 12.286 1.38181 11.968 1.61623 11.7336C1.85065 11.4992 2.16859 11.3675 2.50011 11.3675Z" fill="#272727"></path></svg> <!--'end_frame_cache_Zg1Ab0'-->
Как задача «десяти мартини» связала теорию чисел и квантовую физику
Другая история этого года показывает, насколько неожиданными бывают связи между разными областями знания. Речь идёт о так называемой задаче десяти мартини — проблеме, связанной с тем, как выглядят энергетические уровни электронов в некоторых квантовых моделях. Оказывается, в определённых условиях эти уровни образуют не привычные интервалы, а фрактальную структуру, похожую на канторово множество — объект, который получается простыми шагами, но в итоге выглядит как бесконечно изрезанная пыль.На первый взгляд связь между таким фракталом и квантовой физике кажется почти случайной. Но именно она помогает понять, как электроны ведут себя в кристаллах под действием магнитного поля. Задача оказалась настолько сложной, что когда-то математик в шутку пообещал угостить 10 мартини того, кто сможет с ней справиться.
Решение появилось ещё в 2004 году, однако оно не всех удовлетворило. Один из авторов того доказательства, Светлана Житомирская, считала его слишком разрозненным: результат был верным, но методы выглядели как набор отдельных приёмов, плохо связанных друг с другом. Такой подход закрывает конкретную проблему, но не даёт глубокого понимания того, почему всё устроено именно так.
Спустя 20 лет Житомирская вместе с коллегами вернулась к этой задаче и предложила новое доказательство, которое оказалось гораздо более универсальным. Оно не только подтверждает существование фрактальной структуры, но и показывает, что связь между теорией чисел и квантовой физикой имеет фундаментальный характер. По дороге в эту историю попадают характерные для математической культуры детали: странные графики, необычные вычислительные инструменты и отсылки к книгам, где математика соседствует с музыкой и искусством.
Больше порядка или больше хаоса: что происходит с бесконечностью
Один из самых фундаментальных сюжетов года связан с понятием бесконечности. Математики знают уже больше века, что бесконечность бывает разной. Некоторые бесконечные множества можно сопоставить по размеру, и результат часто идёт вразрез с интуицией: например, множество целых чисел и множество дробей оказываются одинаковыми по мощности, хотя второе выглядит заметно больше.За этим следуют ещё более экзотические виды бесконечностей, которые почти невозможно представить на бытовом уровне. В 1930-х годах Курт Гёдель показал, что в любой достаточно сложной математической системе существуют истинные утверждения, которые невозможно доказать. Это означает, что математическая картина мира принципиально неполна.
Недавние работы группы математиков добавили к этому ещё один слой сложности. Они предложили два новых типа бесконечности, которые, по их утверждению, ведут себя не так, как принято ожидать. Это направление выглядит спорным и экспериментальным: здесь проверяют, насколько далеко можно отойти от привычных допущений. Если эти идеи подтвердятся, они будут означать, что математическая вселенная устроена куда менее аккуратно, чем хотелось бы думать.
Рационально или нет: простой вопрос с долгой историей
Иногда самые простые вопросы оказываются самыми трудными. Один из них — можно ли представить число в виде дроби двух целых. Известно, что большинство чисел иррациональны, но доказать это для конкретного числа бывает невероятно сложно. История математики это хорошо иллюстрирует: доказательство иррациональности числа e заняло десятилетия, а для числа π потребовалось больше века. При этом до сих пор неизвестно, является ли иррациональным выражение π плюс e.Недавние исследования предложили новые методы, которые позволили доказать иррациональность сразу для целого набора важных чисел. Эти подходы дали математикам более надёжные инструменты для работы с числовой прямой — областью, которая кажется знакомой каждому со школы, но на деле до сих пор хранит множество сюрпризов.
Фигура, которая не может пройти сквозь саму себя
Оказывается, у большинства выпуклых многогранников есть странное свойство: если правильно провести через них прямой тоннель, сквозь него можно протащить точную копию той же фигуры. Это работает для кубов, тетраэдров и многих других знакомых форм, хотя на первый взгляд кажется невозможным.Математики столетиями искали исключение — выпуклый многогранник, у которого такого свойства нет. В 2025 году пример наконец нашли. Фигура с 90 вершинами и 152 гранями получила название нопертэдр и стала первым известным объектом этого типа.
В том же году удалось добиться ещё одного неожиданного результата: был построен тетраэдр, который может устойчиво стоять только на одной из 4 граней. Если попытаться поставить его на любую другую сторону, фигура неизбежно переворачивается. Даже самые простые геометрические формы продолжают преподносить сюрпризы, если смотреть на них достаточно внимательно.
- Источник новости
- www.securitylab.ru
