- 24,599
- 46
- 8 Ноя 2022
Как заброшенная гипотеза из 2000-х стала научной сенсацией.
Математики наконец решили столетнюю проблему, которая мешала описывать многие реальные физические процессы. Речь идёт о частных дифференциальных уравнениях — PDEs, которыми учёные описывают всё что угодно: траекторию шторма, движение цен на бирже, распространение болезни. Проблема в том, что эти уравнения часто настолько сложны, что решить их напрямую невозможно.
Обычно математики идут на хитрость. Даже если точное решение уравнения вычислить нельзя, можно попытаться доказать, что оно «регулярное» — то есть ведёт себя предсказуемо, без резких скачков, которые физически невозможны. Если решение регулярное, его можно приблизительно посчитать разными способами и лучше понять изучаемое явление.
Но множество PDEs, описывающих реальные ситуации, оставались недоступными. Математики не могли доказать, что их решения регулярные. Особенно это касалось определённого класса уравнений, теорию которого исследователи развивали целый век, но для одного подкласса она упорно не работала.
Теперь двое итальянских математиков наконец совершили прорыв , расширив теорию на эти сложные PDEs. Их статья, опубликованная прошлым летом, венчает амбициозный проект и впервые позволяет учёным описывать реальные явления, которые долго не поддавались математическому анализу.
<!--'start_frame_cache_Zg1Ab0'--><div class="banner-detailed"><div class="banner-detailed__shell"><div class="banner-detailed__title">Понравилась новость? У нас есть еще! <span>Вступить</span><div class="banner-detailed__arrow"><svg viewBox="0 0 40 40" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M20.5375 34.4392L22.465 31.7392C22.5739 31.5872 22.7145 31.4607 22.8772 31.3684C23.0399 31.2762 23.2207 31.2205 23.407 31.2052C23.5934 31.1898 23.7809 31.2152 23.9564 31.2796C24.132 31.344 24.2915 31.4458 24.4237 31.578L29.6025 36.758C30.0787 37.2333 30.724 37.5002 31.3969 37.5002C32.0697 37.5002 32.715 37.2333 33.1912 36.758L36.7575 33.1917C37.2328 32.7155 37.4998 32.0702 37.4998 31.3973C37.4998 30.7245 37.2328 30.0792 36.7575 29.603L31.5775 24.4242C31.4453 24.2919 31.3435 24.1325 31.2791 23.9569C31.2147 23.7814 31.1893 23.5939 31.2047 23.4075C31.22 23.2211 31.2757 23.0404 31.368 22.8777C31.4602 22.715 31.5867 22.5743 31.7387 22.4655L34.4387 20.538C34.6405 20.3939 34.7965 20.1947 34.8878 19.9641C34.9791 19.7336 35.0018 19.4816 34.9534 19.2385C34.9049 18.9953 34.7873 18.7713 34.6146 18.5934C34.442 18.4155 34.2216 18.2912 33.98 18.2355L13.5112 13.5117L18.235 33.9805C18.2907 34.2221 18.415 34.4425 18.5929 34.6151C18.7708 34.7878 18.9948 34.9054 19.238 34.9539C19.4812 35.0023 19.7331 34.9795 19.9637 34.8882C20.1942 34.7969 20.3934 34.641 20.5375 34.4392Z" fill="#FFD98C"></path><path d="M34.0751 37.6413C33.3582 38.3389 32.3973 38.7293 31.397 38.7293C30.3966 38.7293 29.4358 38.3389 28.7189 37.6413L23.4826 32.4663L21.5539 35.165C21.2699 35.5626 20.8773 35.8698 20.423 36.0497C19.9688 36.2295 19.4723 36.2744 18.9931 36.179C18.514 36.0836 18.0726 35.8518 17.7219 35.5117C17.3713 35.1715 17.1263 34.7373 17.0164 34.2613L12.2926 13.7925C12.2447 13.5858 12.2502 13.3702 12.3086 13.1662C12.367 12.9622 12.4764 12.7764 12.6264 12.6263C12.7765 12.4763 12.9623 12.3669 13.1663 12.3085C13.3703 12.2501 13.5859 12.2446 13.7926 12.2925L34.2614 17.0175C34.7374 17.1271 35.1717 17.3719 35.512 17.7225C35.8523 18.073 36.0841 18.5144 36.1795 18.9935C36.275 19.4726 36.23 19.9691 36.0501 20.4233C35.8701 20.8775 35.5628 21.27 35.1651 21.5538L32.4614 23.54L37.6414 28.7188C38.3498 29.43 38.7476 30.393 38.7476 31.3969C38.7476 32.4008 38.3498 33.3637 37.6414 34.075L34.0751 37.6413ZM35.8751 30.4863L30.6951 25.3075C30.4344 25.047 30.2336 24.7328 30.1068 24.3868C29.9799 24.0407 29.9299 23.6712 29.9604 23.3039C29.9908 22.9366 30.101 22.5804 30.2831 22.26C30.4653 21.9396 30.7151 21.6628 31.0151 21.4488L33.6989 19.4488L15.1851 15.1763L19.5001 33.7275L19.5139 33.7113L21.4414 31.0125C21.6555 30.7124 21.9325 30.4626 22.253 30.2805C22.5735 30.0983 22.9298 29.9882 23.2972 29.9577C23.6646 29.9272 24.0342 29.9772 24.3803 30.1041C24.7264 30.231 25.0407 30.4318 25.3014 30.6925L30.4864 35.875C30.728 36.1163 31.0555 36.2518 31.397 36.2518C31.7385 36.2518 32.066 36.1163 32.3076 35.875L35.8751 32.3075C36.1161 32.0657 36.2514 31.7383 36.2514 31.3969C36.2514 31.0555 36.1161 30.728 35.8751 30.4863ZM8.14636 9.385C7.98292 9.38706 7.82069 9.35675 7.66901 9.29583C7.51733 9.2349 7.37921 9.14455 7.26261 9.03L4.58011 6.3475C4.35242 6.11175 4.22643 5.796 4.22927 5.46825C4.23212 5.1405 4.36358 4.82699 4.59534 4.59523C4.8271 4.36347 5.14062 4.23201 5.46836 4.22916C5.79611 4.22631 6.11186 4.3523 6.34761 4.58L9.03012 7.2625C9.20107 7.43787 9.31674 7.65959 9.36277 7.90013C9.4088 8.14068 9.38315 8.38944 9.28901 8.61553C9.19487 8.84162 9.03639 9.03508 8.83325 9.17188C8.63011 9.30867 8.39126 9.38278 8.14636 9.385ZM17.9726 9.03C17.7362 9.26044 17.419 9.3894 17.0889 9.3894C16.7587 9.3894 16.4416 9.26044 16.2051 9.03C15.9708 8.79559 15.8391 8.47771 15.8391 8.14625C15.8391 7.8148 15.9708 7.49691 16.2051 7.2625L18.8876 4.58C19.0029 4.46061 19.1409 4.36538 19.2934 4.29987C19.4459 4.23436 19.6099 4.19988 19.7759 4.19844C19.9418 4.197 20.1064 4.22862 20.2601 4.29147C20.4137 4.35432 20.5532 4.44714 20.6706 4.56451C20.788 4.68187 20.8808 4.82144 20.9436 4.97506C21.0065 5.12868 21.0381 5.29328 21.0367 5.45925C21.0352 5.62523 21.0008 5.78925 20.9352 5.94176C20.8697 6.09426 20.7745 6.23219 20.6551 6.3475L17.9726 9.03ZM6.34761 20.655C6.11146 20.886 5.79423 21.0154 5.46386 21.0154C5.1335 21.0154 4.81627 20.886 4.58011 20.655C4.34578 20.4206 4.21413 20.1027 4.21413 19.7713C4.21413 19.4398 4.34578 19.1219 4.58011 18.8875L7.26261 16.205C7.37792 16.0856 7.51585 15.9904 7.66836 15.9249C7.82086 15.8594 7.98489 15.8249 8.15086 15.8234C8.31684 15.822 8.48144 15.8536 8.63506 15.9165C8.78868 15.9793 8.92824 16.0721 9.04561 16.1895C9.16297 16.3069 9.25579 16.4464 9.31864 16.6001C9.38149 16.7537 9.41312 16.9183 9.41168 17.0843C9.41024 17.2502 9.37575 17.4143 9.31024 17.5668C9.24473 17.7193 9.1495 17.8572 9.03012 17.9725L6.34761 20.655ZM12.6176 7.54375C12.2861 7.54375 11.9682 7.41205 11.7337 7.17763C11.4993 6.94321 11.3676 6.62527 11.3676 6.29375V2.5C11.3676 2.16848 11.4993 1.85054 11.7337 1.61612C11.9682 1.3817 12.2861 1.25 12.6176 1.25C12.9491 1.25 13.2671 1.3817 13.5015 1.61612C13.7359 1.85054 13.8676 2.16848 13.8676 2.5V6.29375C13.8676 6.62527 13.7359 6.94321 13.5015 7.17763C13.2671 7.41205 12.9491 7.54375 12.6176 7.54375ZM2.50011 11.3675H6.29387C6.62539 11.3675 6.94333 11.4992 7.17775 11.7336C7.41217 11.968 7.54387 12.286 7.54387 12.6175C7.54387 12.949 7.41217 13.267 7.17775 13.5014C6.94333 13.7358 6.62539 13.8675 6.29387 13.8675H2.50011C2.16859 13.8675 1.85065 13.7358 1.61623 13.5014C1.38181 13.267 1.25011 12.949 1.25011 12.6175C1.25011 12.286 1.38181 11.968 1.61623 11.7336C1.85065 11.4992 2.16859 11.3675 2.50011 11.3675Z" fill="#272727"></path></svg> <!--'end_frame_cache_Zg1Ab0'--> Представьте извержение вулкана: хаотичная река раскалённой лавы течёт по земле. Через часы или дни она остывает и достигает равновесия. Температура больше не меняется во времени, но всё ещё различается от точки к точке на огромной площади, которую покрывает лава.
Такие ситуации математики описывают с помощью эллиптических PDEs. Эти уравнения представляют явления, которые меняются в пространстве, но не во времени — например, давление воды в породе, распределение напряжения в мосту или диффузию питательных веществ в опухоли.
Но решения эллиптических PDEs сложны. Решение уравнения для лавы описывает температуру в каждой точке при заданных начальных условиях и зависит от множества взаимодействующих переменных.
Исследователи хотят приблизительно найти такое решение, даже когда записать его точно невозможно. Но их методы работают хорошо только если решение регулярное — без резких скачков или изломов. В температуре лавы не будет острых пиков от места к месту. «Если что-то идёт не так, это, вероятно, из-за отсутствия регулярности», — говорит Максон Сантос из Лиссабонского университета.
В 1930-х годах польский математик Юлиуш Шаудер попытался установить минимальные условия, которым должно удовлетворять эллиптическое PDE, чтобы гарантировать регулярность его решений. Он показал, что во многих случаях достаточно доказать одно: правила, заложенные в уравнение — например, правило того, как быстро распространяется тепло в лаве — не должны слишком резко меняться от точки к точке.
За десятилетия после доказательства Шаудера математики показали, что этого условия достаточно для любого PDE, описывающего «однородный» материал. В таком материале есть предел того, насколько экстремальными могут быть базовые правила. Например, если считать лаву однородной, тепло всегда будет течь в определённых пределах скорости — никогда не слишком быстро или медленно.
Но на самом деле лава — это разнородная смесь расплавленной породы, растворённых газов и кристаллов. В таком неоднородном материале вы не можете контролировать экстремумы, и можете получить более резкие различия в скорости распространения тепла в зависимости от местоположения: некоторые области в лаве могут проводить тепло чрезвычайно хорошо, другие — очень плохо. В этом случае вы будете использовать «неоднородное эллиптическое» PDE для описания ситуации.
Десятилетиями никто не мог доказать, что теория Шаудера работает для такого типа PDEs. К сожалению, «реальный мир неоднородно эллиптичен», — говорит Джузеппе Минджоне, математик из Пармского университета в Италии. Это означало, что математики застряли. Минджоне хотел понять почему.
В августе 2000 года Минджоне — 28-летний обладатель свежей докторской степени — оказался в обветшалом старом курорте в России на конференции по дифференциальным уравнениям. Однажды вечером, за неимением лучшего занятия, он начал читать статьи Василия Васильевича Жикова, математика, которого встретил в поездке, и понял, что неоднородные эллиптические PDEs, которые кажутся хорошо устроенными, могут иметь нерегулярные решения, даже когда они удовлетворяют условию, которое определил Шаудер. Теория Шаудера была не просто сложнее для доказательства в неоднородном случае. Она нуждалась в обновлении.
Вернувшись в Италию, он объединился с двумя коллегами и предложил , что неоднородные эллиптические PDEs должны удовлетворять дополнительному условию, чтобы гарантировать регулярность их решений. Мало того что правила, управляющие потоком тепла, должны постепенно меняться от точки к точке — эти изменения должны быть жёстко контролируемы, чтобы учесть неоднородность лавы. В частности, математики предположили, чем более неравномерен материал, тем жёстче должен быть этот контроль. Они представили это условие как неравенство, дающее точный порог того, сколько неоднородности может выдержать система.
Команда показала, что для PDEs, где неравенство не выполняется, регулярность решений больше нельзя гарантировать. Но доказать, что неравенство точно отмечает точку, где решения переходят от регулярных к потенциально нерегулярным, не удалось. Минджоне потратил годы на эту проблему безрезультатно. В конце концов он оставил попытки.
Прошло почти 20 лет. Затем в 2017 году аспирантка первого курса по имени Кристиана Де Филиппис услышала о попытках расширить теорию Шаудера на неоднородные эллиптические уравнения. Более опытные математики предостерегали её от этой задачи, но она проигнорировала их советы и обратилась к Минджоне. Во время ночного звонка в Skype она сказала ему, что у неё есть идеи, как доказать его гипотезу, и она полна решимости продолжить с того места, где он остановился.
«Это было как машина времени, — сказал Минджоне. — Как будто я встретил самого себя 20 лет назад, постучавшегося в дверь моего собственного разума».
По его словам, именно «новая энергия и энтузиазм и вера Де Филиппис в то, что это можно сделать» убедили его возродить давно забытую попытку доказать свою гипотезу.
Ключ к доказательству того, что решение PDE регулярное — показать, что оно всегда меняется контролируемым образом. Математики делают это, рассматривая специальную функцию, которая описывает, как быстро меняется решение в каждой точке. Они хотят показать, что эта функция, называемая градиентом, не может стать слишком большой.
Но так же как обычно невозможно напрямую вычислить решение PDE, обычно невозможно и вычислить его градиент.
Вместо этого Де Филиппис и Минджоне вывели из исходного PDE то, что они назвали «призрачным уравнением» — тень того, что им на самом деле было нужно.
Вот где Минджоне застрял десятилетиями ранее. Но у Де Филиппис была идея, как отточить призрачное уравнение, чтобы оно могло дать более чёткое представление о PDE. Используя длинную многоступенчатую процедуру, пара смогла получить достаточно информации из призрачного уравнения, чтобы восстановить градиент.
«Довольно натянуто делать это таким образом, — говорит Саймон Новак из Билефельдского университета в Германии. — Но это работает, и это довольно красиво».
Теперь им нужно было понять, как показать, что восстановленный градиент не может стать слишком большим. Они разделили его на более мелкие части и доказали, что каждая часть не может превысить определённый размер. Это потребовало огромных усилий: даже крошечная ошибка измерения одной части сбила бы их оценку градиента, уводя от порога, который они стремились доказать.
В препринте 2022 года они смогли достаточно хорошо укротить все эти части, чтобы показать , что большинство неоднородных эллиптических PDEs, удовлетворяющих неравенству Минджоне, должны иметь регулярные решения. Но некоторые PDEs всё ещё оставались. Чтобы доказать полную гипотезу, математикам нужно было получить ещё более точные границы размеров частей градиента. Не было абсолютно никакой свободы для ошибки. Это требовало многократных перезапусков — «бесконечной игры», по словам Де Филиппис. Но в конце концов они смогли доказать , что порог, который предсказал Минджоне десятилетиями ранее, был абсолютно правильным.
Это было «чудо от отчаяния», сказал он.
Де Филиппис и Минджоне не просто завершили столетний проект. Они также сделали возможным для математиков изучение сложных реальных процессов, которые до сих пор приходилось моделировать с помощью нереалистично упрощённых уравнений.
Исследователи также рады применить их методы для понимания других типов частных дифференциальных уравнений, включая те, которые меняются и в пространстве, и во времени. «Волшебная часть в том, что они собрали всю эту глубокую теорию под одной крышей, а затем выжали из неё доказательство», — говорит Туомо Куузи из Хельсинкского университета.
PDEs всегда были почти запретительно сложными для математического анализа. Теперь они стали чуть-чуть проще. За ними, говорит Де Филиппис, «есть огромная реальность», ждущая объяснения.
Математики наконец решили столетнюю проблему, которая мешала описывать многие реальные физические процессы. Речь идёт о частных дифференциальных уравнениях — PDEs, которыми учёные описывают всё что угодно: траекторию шторма, движение цен на бирже, распространение болезни. Проблема в том, что эти уравнения часто настолько сложны, что решить их напрямую невозможно.
Обычно математики идут на хитрость. Даже если точное решение уравнения вычислить нельзя, можно попытаться доказать, что оно «регулярное» — то есть ведёт себя предсказуемо, без резких скачков, которые физически невозможны. Если решение регулярное, его можно приблизительно посчитать разными способами и лучше понять изучаемое явление.
Но множество PDEs, описывающих реальные ситуации, оставались недоступными. Математики не могли доказать, что их решения регулярные. Особенно это касалось определённого класса уравнений, теорию которого исследователи развивали целый век, но для одного подкласса она упорно не работала.
Теперь двое итальянских математиков наконец совершили прорыв , расширив теорию на эти сложные PDEs. Их статья, опубликованная прошлым летом, венчает амбициозный проект и впервые позволяет учёным описывать реальные явления, которые долго не поддавались математическому анализу.
<!--'start_frame_cache_Zg1Ab0'--><div class="banner-detailed"><div class="banner-detailed__shell"><div class="banner-detailed__title">Понравилась новость? У нас есть еще! <span>Вступить</span><div class="banner-detailed__arrow"><svg viewBox="0 0 40 40" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M20.5375 34.4392L22.465 31.7392C22.5739 31.5872 22.7145 31.4607 22.8772 31.3684C23.0399 31.2762 23.2207 31.2205 23.407 31.2052C23.5934 31.1898 23.7809 31.2152 23.9564 31.2796C24.132 31.344 24.2915 31.4458 24.4237 31.578L29.6025 36.758C30.0787 37.2333 30.724 37.5002 31.3969 37.5002C32.0697 37.5002 32.715 37.2333 33.1912 36.758L36.7575 33.1917C37.2328 32.7155 37.4998 32.0702 37.4998 31.3973C37.4998 30.7245 37.2328 30.0792 36.7575 29.603L31.5775 24.4242C31.4453 24.2919 31.3435 24.1325 31.2791 23.9569C31.2147 23.7814 31.1893 23.5939 31.2047 23.4075C31.22 23.2211 31.2757 23.0404 31.368 22.8777C31.4602 22.715 31.5867 22.5743 31.7387 22.4655L34.4387 20.538C34.6405 20.3939 34.7965 20.1947 34.8878 19.9641C34.9791 19.7336 35.0018 19.4816 34.9534 19.2385C34.9049 18.9953 34.7873 18.7713 34.6146 18.5934C34.442 18.4155 34.2216 18.2912 33.98 18.2355L13.5112 13.5117L18.235 33.9805C18.2907 34.2221 18.415 34.4425 18.5929 34.6151C18.7708 34.7878 18.9948 34.9054 19.238 34.9539C19.4812 35.0023 19.7331 34.9795 19.9637 34.8882C20.1942 34.7969 20.3934 34.641 20.5375 34.4392Z" fill="#FFD98C"></path><path d="M34.0751 37.6413C33.3582 38.3389 32.3973 38.7293 31.397 38.7293C30.3966 38.7293 29.4358 38.3389 28.7189 37.6413L23.4826 32.4663L21.5539 35.165C21.2699 35.5626 20.8773 35.8698 20.423 36.0497C19.9688 36.2295 19.4723 36.2744 18.9931 36.179C18.514 36.0836 18.0726 35.8518 17.7219 35.5117C17.3713 35.1715 17.1263 34.7373 17.0164 34.2613L12.2926 13.7925C12.2447 13.5858 12.2502 13.3702 12.3086 13.1662C12.367 12.9622 12.4764 12.7764 12.6264 12.6263C12.7765 12.4763 12.9623 12.3669 13.1663 12.3085C13.3703 12.2501 13.5859 12.2446 13.7926 12.2925L34.2614 17.0175C34.7374 17.1271 35.1717 17.3719 35.512 17.7225C35.8523 18.073 36.0841 18.5144 36.1795 18.9935C36.275 19.4726 36.23 19.9691 36.0501 20.4233C35.8701 20.8775 35.5628 21.27 35.1651 21.5538L32.4614 23.54L37.6414 28.7188C38.3498 29.43 38.7476 30.393 38.7476 31.3969C38.7476 32.4008 38.3498 33.3637 37.6414 34.075L34.0751 37.6413ZM35.8751 30.4863L30.6951 25.3075C30.4344 25.047 30.2336 24.7328 30.1068 24.3868C29.9799 24.0407 29.9299 23.6712 29.9604 23.3039C29.9908 22.9366 30.101 22.5804 30.2831 22.26C30.4653 21.9396 30.7151 21.6628 31.0151 21.4488L33.6989 19.4488L15.1851 15.1763L19.5001 33.7275L19.5139 33.7113L21.4414 31.0125C21.6555 30.7124 21.9325 30.4626 22.253 30.2805C22.5735 30.0983 22.9298 29.9882 23.2972 29.9577C23.6646 29.9272 24.0342 29.9772 24.3803 30.1041C24.7264 30.231 25.0407 30.4318 25.3014 30.6925L30.4864 35.875C30.728 36.1163 31.0555 36.2518 31.397 36.2518C31.7385 36.2518 32.066 36.1163 32.3076 35.875L35.8751 32.3075C36.1161 32.0657 36.2514 31.7383 36.2514 31.3969C36.2514 31.0555 36.1161 30.728 35.8751 30.4863ZM8.14636 9.385C7.98292 9.38706 7.82069 9.35675 7.66901 9.29583C7.51733 9.2349 7.37921 9.14455 7.26261 9.03L4.58011 6.3475C4.35242 6.11175 4.22643 5.796 4.22927 5.46825C4.23212 5.1405 4.36358 4.82699 4.59534 4.59523C4.8271 4.36347 5.14062 4.23201 5.46836 4.22916C5.79611 4.22631 6.11186 4.3523 6.34761 4.58L9.03012 7.2625C9.20107 7.43787 9.31674 7.65959 9.36277 7.90013C9.4088 8.14068 9.38315 8.38944 9.28901 8.61553C9.19487 8.84162 9.03639 9.03508 8.83325 9.17188C8.63011 9.30867 8.39126 9.38278 8.14636 9.385ZM17.9726 9.03C17.7362 9.26044 17.419 9.3894 17.0889 9.3894C16.7587 9.3894 16.4416 9.26044 16.2051 9.03C15.9708 8.79559 15.8391 8.47771 15.8391 8.14625C15.8391 7.8148 15.9708 7.49691 16.2051 7.2625L18.8876 4.58C19.0029 4.46061 19.1409 4.36538 19.2934 4.29987C19.4459 4.23436 19.6099 4.19988 19.7759 4.19844C19.9418 4.197 20.1064 4.22862 20.2601 4.29147C20.4137 4.35432 20.5532 4.44714 20.6706 4.56451C20.788 4.68187 20.8808 4.82144 20.9436 4.97506C21.0065 5.12868 21.0381 5.29328 21.0367 5.45925C21.0352 5.62523 21.0008 5.78925 20.9352 5.94176C20.8697 6.09426 20.7745 6.23219 20.6551 6.3475L17.9726 9.03ZM6.34761 20.655C6.11146 20.886 5.79423 21.0154 5.46386 21.0154C5.1335 21.0154 4.81627 20.886 4.58011 20.655C4.34578 20.4206 4.21413 20.1027 4.21413 19.7713C4.21413 19.4398 4.34578 19.1219 4.58011 18.8875L7.26261 16.205C7.37792 16.0856 7.51585 15.9904 7.66836 15.9249C7.82086 15.8594 7.98489 15.8249 8.15086 15.8234C8.31684 15.822 8.48144 15.8536 8.63506 15.9165C8.78868 15.9793 8.92824 16.0721 9.04561 16.1895C9.16297 16.3069 9.25579 16.4464 9.31864 16.6001C9.38149 16.7537 9.41312 16.9183 9.41168 17.0843C9.41024 17.2502 9.37575 17.4143 9.31024 17.5668C9.24473 17.7193 9.1495 17.8572 9.03012 17.9725L6.34761 20.655ZM12.6176 7.54375C12.2861 7.54375 11.9682 7.41205 11.7337 7.17763C11.4993 6.94321 11.3676 6.62527 11.3676 6.29375V2.5C11.3676 2.16848 11.4993 1.85054 11.7337 1.61612C11.9682 1.3817 12.2861 1.25 12.6176 1.25C12.9491 1.25 13.2671 1.3817 13.5015 1.61612C13.7359 1.85054 13.8676 2.16848 13.8676 2.5V6.29375C13.8676 6.62527 13.7359 6.94321 13.5015 7.17763C13.2671 7.41205 12.9491 7.54375 12.6176 7.54375ZM2.50011 11.3675H6.29387C6.62539 11.3675 6.94333 11.4992 7.17775 11.7336C7.41217 11.968 7.54387 12.286 7.54387 12.6175C7.54387 12.949 7.41217 13.267 7.17775 13.5014C6.94333 13.7358 6.62539 13.8675 6.29387 13.8675H2.50011C2.16859 13.8675 1.85065 13.7358 1.61623 13.5014C1.38181 13.267 1.25011 12.949 1.25011 12.6175C1.25011 12.286 1.38181 11.968 1.61623 11.7336C1.85065 11.4992 2.16859 11.3675 2.50011 11.3675Z" fill="#272727"></path></svg> <!--'end_frame_cache_Zg1Ab0'--> Представьте извержение вулкана: хаотичная река раскалённой лавы течёт по земле. Через часы или дни она остывает и достигает равновесия. Температура больше не меняется во времени, но всё ещё различается от точки к точке на огромной площади, которую покрывает лава.
Такие ситуации математики описывают с помощью эллиптических PDEs. Эти уравнения представляют явления, которые меняются в пространстве, но не во времени — например, давление воды в породе, распределение напряжения в мосту или диффузию питательных веществ в опухоли.
Но решения эллиптических PDEs сложны. Решение уравнения для лавы описывает температуру в каждой точке при заданных начальных условиях и зависит от множества взаимодействующих переменных.
Исследователи хотят приблизительно найти такое решение, даже когда записать его точно невозможно. Но их методы работают хорошо только если решение регулярное — без резких скачков или изломов. В температуре лавы не будет острых пиков от места к месту. «Если что-то идёт не так, это, вероятно, из-за отсутствия регулярности», — говорит Максон Сантос из Лиссабонского университета.
В 1930-х годах польский математик Юлиуш Шаудер попытался установить минимальные условия, которым должно удовлетворять эллиптическое PDE, чтобы гарантировать регулярность его решений. Он показал, что во многих случаях достаточно доказать одно: правила, заложенные в уравнение — например, правило того, как быстро распространяется тепло в лаве — не должны слишком резко меняться от точки к точке.
За десятилетия после доказательства Шаудера математики показали, что этого условия достаточно для любого PDE, описывающего «однородный» материал. В таком материале есть предел того, насколько экстремальными могут быть базовые правила. Например, если считать лаву однородной, тепло всегда будет течь в определённых пределах скорости — никогда не слишком быстро или медленно.
Но на самом деле лава — это разнородная смесь расплавленной породы, растворённых газов и кристаллов. В таком неоднородном материале вы не можете контролировать экстремумы, и можете получить более резкие различия в скорости распространения тепла в зависимости от местоположения: некоторые области в лаве могут проводить тепло чрезвычайно хорошо, другие — очень плохо. В этом случае вы будете использовать «неоднородное эллиптическое» PDE для описания ситуации.
Десятилетиями никто не мог доказать, что теория Шаудера работает для такого типа PDEs. К сожалению, «реальный мир неоднородно эллиптичен», — говорит Джузеппе Минджоне, математик из Пармского университета в Италии. Это означало, что математики застряли. Минджоне хотел понять почему.
В августе 2000 года Минджоне — 28-летний обладатель свежей докторской степени — оказался в обветшалом старом курорте в России на конференции по дифференциальным уравнениям. Однажды вечером, за неимением лучшего занятия, он начал читать статьи Василия Васильевича Жикова, математика, которого встретил в поездке, и понял, что неоднородные эллиптические PDEs, которые кажутся хорошо устроенными, могут иметь нерегулярные решения, даже когда они удовлетворяют условию, которое определил Шаудер. Теория Шаудера была не просто сложнее для доказательства в неоднородном случае. Она нуждалась в обновлении.
Вернувшись в Италию, он объединился с двумя коллегами и предложил , что неоднородные эллиптические PDEs должны удовлетворять дополнительному условию, чтобы гарантировать регулярность их решений. Мало того что правила, управляющие потоком тепла, должны постепенно меняться от точки к точке — эти изменения должны быть жёстко контролируемы, чтобы учесть неоднородность лавы. В частности, математики предположили, чем более неравномерен материал, тем жёстче должен быть этот контроль. Они представили это условие как неравенство, дающее точный порог того, сколько неоднородности может выдержать система.
Команда показала, что для PDEs, где неравенство не выполняется, регулярность решений больше нельзя гарантировать. Но доказать, что неравенство точно отмечает точку, где решения переходят от регулярных к потенциально нерегулярным, не удалось. Минджоне потратил годы на эту проблему безрезультатно. В конце концов он оставил попытки.
Прошло почти 20 лет. Затем в 2017 году аспирантка первого курса по имени Кристиана Де Филиппис услышала о попытках расширить теорию Шаудера на неоднородные эллиптические уравнения. Более опытные математики предостерегали её от этой задачи, но она проигнорировала их советы и обратилась к Минджоне. Во время ночного звонка в Skype она сказала ему, что у неё есть идеи, как доказать его гипотезу, и она полна решимости продолжить с того места, где он остановился.
«Это было как машина времени, — сказал Минджоне. — Как будто я встретил самого себя 20 лет назад, постучавшегося в дверь моего собственного разума».
По его словам, именно «новая энергия и энтузиазм и вера Де Филиппис в то, что это можно сделать» убедили его возродить давно забытую попытку доказать свою гипотезу.
Ключ к доказательству того, что решение PDE регулярное — показать, что оно всегда меняется контролируемым образом. Математики делают это, рассматривая специальную функцию, которая описывает, как быстро меняется решение в каждой точке. Они хотят показать, что эта функция, называемая градиентом, не может стать слишком большой.
Но так же как обычно невозможно напрямую вычислить решение PDE, обычно невозможно и вычислить его градиент.
Вместо этого Де Филиппис и Минджоне вывели из исходного PDE то, что они назвали «призрачным уравнением» — тень того, что им на самом деле было нужно.
Вот где Минджоне застрял десятилетиями ранее. Но у Де Филиппис была идея, как отточить призрачное уравнение, чтобы оно могло дать более чёткое представление о PDE. Используя длинную многоступенчатую процедуру, пара смогла получить достаточно информации из призрачного уравнения, чтобы восстановить градиент.
«Довольно натянуто делать это таким образом, — говорит Саймон Новак из Билефельдского университета в Германии. — Но это работает, и это довольно красиво».
Теперь им нужно было понять, как показать, что восстановленный градиент не может стать слишком большим. Они разделили его на более мелкие части и доказали, что каждая часть не может превысить определённый размер. Это потребовало огромных усилий: даже крошечная ошибка измерения одной части сбила бы их оценку градиента, уводя от порога, который они стремились доказать.
В препринте 2022 года они смогли достаточно хорошо укротить все эти части, чтобы показать , что большинство неоднородных эллиптических PDEs, удовлетворяющих неравенству Минджоне, должны иметь регулярные решения. Но некоторые PDEs всё ещё оставались. Чтобы доказать полную гипотезу, математикам нужно было получить ещё более точные границы размеров частей градиента. Не было абсолютно никакой свободы для ошибки. Это требовало многократных перезапусков — «бесконечной игры», по словам Де Филиппис. Но в конце концов они смогли доказать , что порог, который предсказал Минджоне десятилетиями ранее, был абсолютно правильным.
Это было «чудо от отчаяния», сказал он.
Де Филиппис и Минджоне не просто завершили столетний проект. Они также сделали возможным для математиков изучение сложных реальных процессов, которые до сих пор приходилось моделировать с помощью нереалистично упрощённых уравнений.
Исследователи также рады применить их методы для понимания других типов частных дифференциальных уравнений, включая те, которые меняются и в пространстве, и во времени. «Волшебная часть в том, что они собрали всю эту глубокую теорию под одной крышей, а затем выжали из неё доказательство», — говорит Туомо Куузи из Хельсинкского университета.
PDEs всегда были почти запретительно сложными для математического анализа. Теперь они стали чуть-чуть проще. За ними, говорит Де Филиппис, «есть огромная реальность», ждущая объяснения.
- Источник новости
- www.securitylab.ru
