- 24,963
- 46
- 8 Ноя 2022
Когда переменных слишком много, на помощь приходит… абстракция?
Математики редко берутся за живую природу: слишком много связей, слишком много переменных, слишком трудно уложить жизнь в строгую схему. Джон Баез решил заняться решением этой фундаментальной проблемы. Ещё в 2011 году ученый из Калифорнийского университета в Риверсайде и Эдинбургского университета предложил заняться зелёной математикой – новым способом описывать биосферу и климат с помощью теории категорий. Замысел выглядел рискованно: один из самых абстрактных разделов математики собирались направить на одну из самых запутанных систем на Земле.
У привычных математических моделей есть понятный предел. Формулы хорошо работают там, где система сравнительно проста, а число связей можно удержать под контролем. Дальше начинается совсем другой масштаб. Переход от атомов к организмам, а затем к экосистемам приносит множество уровней, зависимостей и перекрестных влияний. Короткая схема в такой среде быстро перестает что-либо объяснять. По этой причине идея Баеза долго казалась почти фантазией: как может настолько отвлеченная математика помочь разобраться в мире, где любая часть связана с десятками, а то и сотнями других?
За 15 лет к Баезу присоединились более ста исследователей, работающих в прикладной теории категорий. У направления появились ежегодная конференция, научный журнал, профильный институт и исследовательская программа с государственным финансированием в Великобритании. Полного признания пока нет. Скепсис сохраняется, а многие участники области прямо говорят, что работают скорее вопреки общему настрою, чем при широкой поддержке. При всей настороженности у подхода уже появились прикладные результаты , прежде всего в эпидемиологии и безопасности искусственного интеллекта.
Теория категорий возникла в 1945 году как способ строго описывать отношения между математическими объектами. Со временем область превратилась в один из самых влиятельных разделов современной математики. Главная мысль здесь довольно необычна: важнее не внутреннее устройство сущности, а связи с другими сущностями. Для категорийного мышления объект определяется не материалом и не внешним видом, а набором допустимых действий, переходов и отношений внутри системы.
<!--'start_frame_cache_Zg1Ab0'--><div class="banner-detailed"><div class="banner-detailed__shell"><div class="banner-detailed__title">Понравилась новость? У нас есть еще! <span>Вступить</span><div class="banner-detailed__arrow"><svg viewBox="0 0 40 40" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M20.5375 34.4392L22.465 31.7392C22.5739 31.5872 22.7145 31.4607 22.8772 31.3684C23.0399 31.2762 23.2207 31.2205 23.407 31.2052C23.5934 31.1898 23.7809 31.2152 23.9564 31.2796C24.132 31.344 24.2915 31.4458 24.4237 31.578L29.6025 36.758C30.0787 37.2333 30.724 37.5002 31.3969 37.5002C32.0697 37.5002 32.715 37.2333 33.1912 36.758L36.7575 33.1917C37.2328 32.7155 37.4998 32.0702 37.4998 31.3973C37.4998 30.7245 37.2328 30.0792 36.7575 29.603L31.5775 24.4242C31.4453 24.2919 31.3435 24.1325 31.2791 23.9569C31.2147 23.7814 31.1893 23.5939 31.2047 23.4075C31.22 23.2211 31.2757 23.0404 31.368 22.8777C31.4602 22.715 31.5867 22.5743 31.7387 22.4655L34.4387 20.538C34.6405 20.3939 34.7965 20.1947 34.8878 19.9641C34.9791 19.7336 35.0018 19.4816 34.9534 19.2385C34.9049 18.9953 34.7873 18.7713 34.6146 18.5934C34.442 18.4155 34.2216 18.2912 33.98 18.2355L13.5112 13.5117L18.235 33.9805C18.2907 34.2221 18.415 34.4425 18.5929 34.6151C18.7708 34.7878 18.9948 34.9054 19.238 34.9539C19.4812 35.0023 19.7331 34.9795 19.9637 34.8882C20.1942 34.7969 20.3934 34.641 20.5375 34.4392Z" fill="#FFD98C"></path><path d="M34.0751 37.6413C33.3582 38.3389 32.3973 38.7293 31.397 38.7293C30.3966 38.7293 29.4358 38.3389 28.7189 37.6413L23.4826 32.4663L21.5539 35.165C21.2699 35.5626 20.8773 35.8698 20.423 36.0497C19.9688 36.2295 19.4723 36.2744 18.9931 36.179C18.514 36.0836 18.0726 35.8518 17.7219 35.5117C17.3713 35.1715 17.1263 34.7373 17.0164 34.2613L12.2926 13.7925C12.2447 13.5858 12.2502 13.3702 12.3086 13.1662C12.367 12.9622 12.4764 12.7764 12.6264 12.6263C12.7765 12.4763 12.9623 12.3669 13.1663 12.3085C13.3703 12.2501 13.5859 12.2446 13.7926 12.2925L34.2614 17.0175C34.7374 17.1271 35.1717 17.3719 35.512 17.7225C35.8523 18.073 36.0841 18.5144 36.1795 18.9935C36.275 19.4726 36.23 19.9691 36.0501 20.4233C35.8701 20.8775 35.5628 21.27 35.1651 21.5538L32.4614 23.54L37.6414 28.7188C38.3498 29.43 38.7476 30.393 38.7476 31.3969C38.7476 32.4008 38.3498 33.3637 37.6414 34.075L34.0751 37.6413ZM35.8751 30.4863L30.6951 25.3075C30.4344 25.047 30.2336 24.7328 30.1068 24.3868C29.9799 24.0407 29.9299 23.6712 29.9604 23.3039C29.9908 22.9366 30.101 22.5804 30.2831 22.26C30.4653 21.9396 30.7151 21.6628 31.0151 21.4488L33.6989 19.4488L15.1851 15.1763L19.5001 33.7275L19.5139 33.7113L21.4414 31.0125C21.6555 30.7124 21.9325 30.4626 22.253 30.2805C22.5735 30.0983 22.9298 29.9882 23.2972 29.9577C23.6646 29.9272 24.0342 29.9772 24.3803 30.1041C24.7264 30.231 25.0407 30.4318 25.3014 30.6925L30.4864 35.875C30.728 36.1163 31.0555 36.2518 31.397 36.2518C31.7385 36.2518 32.066 36.1163 32.3076 35.875L35.8751 32.3075C36.1161 32.0657 36.2514 31.7383 36.2514 31.3969C36.2514 31.0555 36.1161 30.728 35.8751 30.4863ZM8.14636 9.385C7.98292 9.38706 7.82069 9.35675 7.66901 9.29583C7.51733 9.2349 7.37921 9.14455 7.26261 9.03L4.58011 6.3475C4.35242 6.11175 4.22643 5.796 4.22927 5.46825C4.23212 5.1405 4.36358 4.82699 4.59534 4.59523C4.8271 4.36347 5.14062 4.23201 5.46836 4.22916C5.79611 4.22631 6.11186 4.3523 6.34761 4.58L9.03012 7.2625C9.20107 7.43787 9.31674 7.65959 9.36277 7.90013C9.4088 8.14068 9.38315 8.38944 9.28901 8.61553C9.19487 8.84162 9.03639 9.03508 8.83325 9.17188C8.63011 9.30867 8.39126 9.38278 8.14636 9.385ZM17.9726 9.03C17.7362 9.26044 17.419 9.3894 17.0889 9.3894C16.7587 9.3894 16.4416 9.26044 16.2051 9.03C15.9708 8.79559 15.8391 8.47771 15.8391 8.14625C15.8391 7.8148 15.9708 7.49691 16.2051 7.2625L18.8876 4.58C19.0029 4.46061 19.1409 4.36538 19.2934 4.29987C19.4459 4.23436 19.6099 4.19988 19.7759 4.19844C19.9418 4.197 20.1064 4.22862 20.2601 4.29147C20.4137 4.35432 20.5532 4.44714 20.6706 4.56451C20.788 4.68187 20.8808 4.82144 20.9436 4.97506C21.0065 5.12868 21.0381 5.29328 21.0367 5.45925C21.0352 5.62523 21.0008 5.78925 20.9352 5.94176C20.8697 6.09426 20.7745 6.23219 20.6551 6.3475L17.9726 9.03ZM6.34761 20.655C6.11146 20.886 5.79423 21.0154 5.46386 21.0154C5.1335 21.0154 4.81627 20.886 4.58011 20.655C4.34578 20.4206 4.21413 20.1027 4.21413 19.7713C4.21413 19.4398 4.34578 19.1219 4.58011 18.8875L7.26261 16.205C7.37792 16.0856 7.51585 15.9904 7.66836 15.9249C7.82086 15.8594 7.98489 15.8249 8.15086 15.8234C8.31684 15.822 8.48144 15.8536 8.63506 15.9165C8.78868 15.9793 8.92824 16.0721 9.04561 16.1895C9.16297 16.3069 9.25579 16.4464 9.31864 16.6001C9.38149 16.7537 9.41312 16.9183 9.41168 17.0843C9.41024 17.2502 9.37575 17.4143 9.31024 17.5668C9.24473 17.7193 9.1495 17.8572 9.03012 17.9725L6.34761 20.655ZM12.6176 7.54375C12.2861 7.54375 11.9682 7.41205 11.7337 7.17763C11.4993 6.94321 11.3676 6.62527 11.3676 6.29375V2.5C11.3676 2.16848 11.4993 1.85054 11.7337 1.61612C11.9682 1.3817 12.2861 1.25 12.6176 1.25C12.9491 1.25 13.2671 1.3817 13.5015 1.61612C13.7359 1.85054 13.8676 2.16848 13.8676 2.5V6.29375C13.8676 6.62527 13.7359 6.94321 13.5015 7.17763C13.2671 7.41205 12.9491 7.54375 12.6176 7.54375ZM2.50011 11.3675H6.29387C6.62539 11.3675 6.94333 11.4992 7.17775 11.7336C7.41217 11.968 7.54387 12.286 7.54387 12.6175C7.54387 12.949 7.41217 13.267 7.17775 13.5014C6.94333 13.7358 6.62539 13.8675 6.29387 13.8675H2.50011C2.16859 13.8675 1.85065 13.7358 1.61623 13.5014C1.38181 13.267 1.25011 12.949 1.25011 12.6175C1.25011 12.286 1.38181 11.968 1.61623 11.7336C1.85065 11.4992 2.16859 11.3675 2.50011 11.3675Z" fill="#272727"></path></svg> <!--'end_frame_cache_Zg1Ab0'--> Понять такую логику удобно на примере шахмат. Чёрный король можно описать как деревянную фигуру нужной формы, окрашенную в тёмный цвет, но для математика подобная характеристика почти бесполезна. Гораздо важнее правила движения по доске, способы захвата других фигур, угроза шаха и ограничения, которые задает партия. Чёрный король остается королём даже в виде солонки, если предмет подчиняется тем же правилам.
Категория в таком языке состоит из объектов и морфизмов. Морфизмы – допустимые связи или переходы между объектами. Если представить шахматы как категорию, на схеме появятся клетки или позиции в виде точек, а стрелки покажут разрешенные ходы. Дальше исследователь может сравнивать разные категории, соединять их, накладывать друг на друга и изучать, как одна логическая система сочетается с другой. Для чистой математики такой аппарат давно стал привычным делом. В прикладных задачах смысл шире: категории позволяют собрать единый язык для очень разных частей сложной системы.
Бытовой опыт показывает похожую логику даже без специальных терминов. Никто не путает пять футов и пять долларов, хотя число в записи одно и то же. Длины можно перемножать: 3 фута на 5 футов дают 15 квадратных футов. Денежные суммы так умножать нельзя, потому что квадратных долларов в обычной экономике нет. Зато доллары можно складывать, а ещё сумму можно умножить на обычное число, например на 3. Для теории категорий разница кроется не в цифре, а в типе объекта и в списке допустимых операций.
Категорийный подход описывает денежные величины как объекты категории, связанной с одномерным векторным пространством. Если вообразить числовую прямую, сумма денег похожа на вектор, который начинается в нуле и уходит вправо на определенную длину. Два таких вектора можно сложить, но операция умножения между ними не входит в набор допустимых преобразований внутри данной структуры. Человек на кассе, конечно, не обязан знать про векторы и морфизмы, чтобы не совершать абсурдных вычислений. В сложных моделях, где рядом стоят люди, дозы лекарства, бюджет, риск заражения и интервалы времени, путаница возникает намного легче.
Джон Баез видит здесь одну из главных причин ошибок в прикладных моделях. Обычный программный код может принять число 35 без пояснений. Для машины 35 долларов, 35 человек, 35 доз препарата и 35 градусов выглядят одинаково, если разработчик заранее не задал строгие различия. Такая неразборчивость облегчает ошибки: в одной системе смешиваются сущности, для которых действуют разные правила. Прикладная теория категорий пытается убрать подобную неясность ещё на уровне конструкции модели.
В таком подходе реальная система описывается через объекты и морфизмы, а затем получает строгую логическую форму. Один из создателей Topos Institute в Беркли Брендан Фонг говорит о категориях как о способе упорядочить логические структуры. Смысл не сводится к красивой абстракции ради абстракции. Речь идет о рабочем языке, который помогает собрать вместе разнородные части большой системы без потери смысла на стыках.
Первые шаги в таком направлении уже были. В 2000-х физик Боб Кекке применил категорийный аппарат к квантовой механике, а позднее работа получила продолжение в задачах квантовых вычислений. Примерно тогда же Баез начал думать о биосфере. Независимо от него математик Дэвид Спивак, будущий сооснователь Topos Institute, развивал прикладную теорию категорий на материале баз данных. Спивака привлекала вполне земная задача: сделать сложные системы читаемыми и убрать неоднозначность при передаче информации между людьми, таблицами и программами.
Допустим, бухгалтер описывает, какие сущности живут в корпоративной базе: сотрудники, отделы, суммы, транзакции, контракты. Затем строится формальная схема, где все элементы и связи получают точное место. Затем схему можно соединить с другими категориями, которые соответствуют соседним таблицам, сервисам или электронным листам, и постепенно собрать модель всей компании.
Именно поэтому Баез когда-то увидел в теории категорий шанс для климатологии. Климатическая наука пытается описать, пожалуй, самую большую систему из доступных исследователю – Землю. В работу нужно связать атмосферу, океаны, лед, облака, почвы, биологические процессы, потоки энергии, огромные массивы наблюдений и вычислительные прогнозы. У каждой подсистемы свой набор методов, параметров и данных. Собрать такую конструкцию в единую логичную схему чрезвычайно трудно. Категорийный аппарат, по замыслу Баеза, мог бы навести в такой сборке больше строгости и облегчить подключение новых данных.
До климатической науки прикладная теория категорий, однако, почти не добралась. Сами исследователи признают: реального влияния на климатические модели у направления пока нет. Причина не в слабости климатологии, а скорее в зрелости существующих систем. Рабочие модели уже достаточно сложны и полезны, чтобы научное сообщество не спешило перестраивать архитектуру с нуля ради большей математической аккуратности. Сторонники категорийного подхода уверены, что строгая сборка сделала бы модели прочнее, гибче и удобнее для интеграции новых знаний. Проблема в цене перехода. Такой шаг требует времени, денег и доверия, а отдача приходит не сразу.
Ситуация в эпидемиологии выглядит заметно живее. Баез сотрудничает с Topos Institute и канадским специалистом по компьютерным наукам Нейтом Осгудом, который занимается моделированием вспышек заболеваний в Университете Саскачевана и участвовал в работе над ответом Канады на пандемию. Осгуд столкнулся с практической трудностью: существующее программное обеспечение плохо соединяло знания из разных областей. Для прогноза эпидемии нужны медицина, демография, социальная статистика, логистика, поведенческие науки и данные системы здравоохранения. Обычные инструменты не давали удобного способа собрать всё это в одну согласованную картину.
В эпидемиологии давно используют схемы stock-and-flow. По-русски речь идет о диаграммах запасов и потоков. В одной группе находятся восприимчивые к инфекции, в другой заражённые, в третьей выздоровевшие, в четвёртой умершие. Стрелки между блоками показывают переходы, которые зависят от заразности возбудителя, частоты контактов, уровня защиты или неравенства в доступе к медицине. Для теории категорий такая диаграмма выглядит почти родной: состояния играют роль объектов, а переходы между состояниями становятся морфизмами. По расположению блоков и стрелок затем записываются уравнения, описывающие, как вся система меняется во времени.
За последние годы команда Баеза, Осгуда и коллег выпустила программный пакет StockFlow , который как раз формализует такую логику. Подход позволяет разным специалистам отдельно описывать свои участки модели, а затем собирать более крупную конструкцию. Один исследователь может разобрать влияние социального неравенства на риск заражения у уязвимых групп. Другой добавит роль вакцинации. Третий опишет госпитализации или изменения в поведении населения. Категорийный аппарат помогает соединить такие части в общую схему без потери смысла на границах между дисциплинами.
Широкого распространения среди эпидемиологов StockFlow тоже пока не получил. Внутри математического сообщества работу, однако, считают вполне серьезной, а не чисто философской. Осгуд уже учит студентов пользоваться таким подходом и рассчитывает, что следующему поколению моделистов строгая формализация покажется не экзотикой, а обычным рабочим инструментом.
Ещё одно поле для применения связано с безопасностью искусственного интеллекта. Исследователи Амар Хаджихасанович и Маттео Капуччи участвуют в проекте Safeguarded AI, который финансирует британское агентство ARIA. Проект отвечает на очень жесткий вопрос: как доверить системам ИИ управление критически важной инфраструктурой, если сами алгоритмы порой ведут себя непредсказуемо и допускают ошибки? Речь идет о средах, где сбой слишком дорог: атомные станции, электросети и другие сложные объекты реального мира.
Команда предлагает строить формальные модели сложных систем, на которых ИИ сможет отрабатывать действия до выхода в реальную среду. Для такой тренировки модель должна воспроизводить логическую структуру настоящего объекта, включая связи между множеством разных сущностей. Здесь снова пригодилась главная сильная сторона теории категорий – модульность и умение собирать большую схему из строго описанных частей. Авторы проекта считают, что подобную технологию можно будет использовать во множестве ситуаций, где надежность важнее эффектной демонстрации.
У сторонников направления есть общее ощущение, что ценность такого подхода будет расти вместе со сложностью мира. Системы становятся плотнее связаны друг с другом, зависимостей становится больше, роль ИИ расширяется. В такой среде все труднее полагаться на приблизительные решения, собранные на глазок. Ошибка в одном слое может быстро перейти в другой и вызвать цепочку сбоев.
Главная претензия Баеза к нынешнему способу описывать живые системы касается самой рамки мышления. Биологию слишком часто пытаются уложить в инженерную схему: на вход подаются вещество и энергия, на выходе получается полезный результат и побочные отходы. Такой взгляд удобен для машин, но плохо подходит для жизни. Инженерная оптика заставляет сосредоточиться на нужной человеку части процесса и отбросить всё остальное – происхождение энергии, судьбу отходов, побочные связи и обмены, без которых экосистема вообще не существует.
Живая природа устроена иначе. Эволюция не собирала организмы как механизмы для одной заранее заданной цели. Гены не похожи на отдельные шестеренки с фиксированными ролями: один и тот же ген может участвовать сразу во множестве процессов и влиять на разные уровни организации. В экосистеме отходы одного существа становятся пищей для другого. Граница между полезным и бесполезным здесь проходит совсем не так, как на фабрике. Поэтому Баез полагает, что для биологии и экологии могут понадобиться новые категории с логическими структурами, которых математика пока ещё не выработала.
Математики редко берутся за живую природу: слишком много связей, слишком много переменных, слишком трудно уложить жизнь в строгую схему. Джон Баез решил заняться решением этой фундаментальной проблемы. Ещё в 2011 году ученый из Калифорнийского университета в Риверсайде и Эдинбургского университета предложил заняться зелёной математикой – новым способом описывать биосферу и климат с помощью теории категорий. Замысел выглядел рискованно: один из самых абстрактных разделов математики собирались направить на одну из самых запутанных систем на Земле.
У привычных математических моделей есть понятный предел. Формулы хорошо работают там, где система сравнительно проста, а число связей можно удержать под контролем. Дальше начинается совсем другой масштаб. Переход от атомов к организмам, а затем к экосистемам приносит множество уровней, зависимостей и перекрестных влияний. Короткая схема в такой среде быстро перестает что-либо объяснять. По этой причине идея Баеза долго казалась почти фантазией: как может настолько отвлеченная математика помочь разобраться в мире, где любая часть связана с десятками, а то и сотнями других?
За 15 лет к Баезу присоединились более ста исследователей, работающих в прикладной теории категорий. У направления появились ежегодная конференция, научный журнал, профильный институт и исследовательская программа с государственным финансированием в Великобритании. Полного признания пока нет. Скепсис сохраняется, а многие участники области прямо говорят, что работают скорее вопреки общему настрою, чем при широкой поддержке. При всей настороженности у подхода уже появились прикладные результаты , прежде всего в эпидемиологии и безопасности искусственного интеллекта.
Теория категорий возникла в 1945 году как способ строго описывать отношения между математическими объектами. Со временем область превратилась в один из самых влиятельных разделов современной математики. Главная мысль здесь довольно необычна: важнее не внутреннее устройство сущности, а связи с другими сущностями. Для категорийного мышления объект определяется не материалом и не внешним видом, а набором допустимых действий, переходов и отношений внутри системы.
<!--'start_frame_cache_Zg1Ab0'--><div class="banner-detailed"><div class="banner-detailed__shell"><div class="banner-detailed__title">Понравилась новость? У нас есть еще! <span>Вступить</span><div class="banner-detailed__arrow"><svg viewBox="0 0 40 40" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M20.5375 34.4392L22.465 31.7392C22.5739 31.5872 22.7145 31.4607 22.8772 31.3684C23.0399 31.2762 23.2207 31.2205 23.407 31.2052C23.5934 31.1898 23.7809 31.2152 23.9564 31.2796C24.132 31.344 24.2915 31.4458 24.4237 31.578L29.6025 36.758C30.0787 37.2333 30.724 37.5002 31.3969 37.5002C32.0697 37.5002 32.715 37.2333 33.1912 36.758L36.7575 33.1917C37.2328 32.7155 37.4998 32.0702 37.4998 31.3973C37.4998 30.7245 37.2328 30.0792 36.7575 29.603L31.5775 24.4242C31.4453 24.2919 31.3435 24.1325 31.2791 23.9569C31.2147 23.7814 31.1893 23.5939 31.2047 23.4075C31.22 23.2211 31.2757 23.0404 31.368 22.8777C31.4602 22.715 31.5867 22.5743 31.7387 22.4655L34.4387 20.538C34.6405 20.3939 34.7965 20.1947 34.8878 19.9641C34.9791 19.7336 35.0018 19.4816 34.9534 19.2385C34.9049 18.9953 34.7873 18.7713 34.6146 18.5934C34.442 18.4155 34.2216 18.2912 33.98 18.2355L13.5112 13.5117L18.235 33.9805C18.2907 34.2221 18.415 34.4425 18.5929 34.6151C18.7708 34.7878 18.9948 34.9054 19.238 34.9539C19.4812 35.0023 19.7331 34.9795 19.9637 34.8882C20.1942 34.7969 20.3934 34.641 20.5375 34.4392Z" fill="#FFD98C"></path><path d="M34.0751 37.6413C33.3582 38.3389 32.3973 38.7293 31.397 38.7293C30.3966 38.7293 29.4358 38.3389 28.7189 37.6413L23.4826 32.4663L21.5539 35.165C21.2699 35.5626 20.8773 35.8698 20.423 36.0497C19.9688 36.2295 19.4723 36.2744 18.9931 36.179C18.514 36.0836 18.0726 35.8518 17.7219 35.5117C17.3713 35.1715 17.1263 34.7373 17.0164 34.2613L12.2926 13.7925C12.2447 13.5858 12.2502 13.3702 12.3086 13.1662C12.367 12.9622 12.4764 12.7764 12.6264 12.6263C12.7765 12.4763 12.9623 12.3669 13.1663 12.3085C13.3703 12.2501 13.5859 12.2446 13.7926 12.2925L34.2614 17.0175C34.7374 17.1271 35.1717 17.3719 35.512 17.7225C35.8523 18.073 36.0841 18.5144 36.1795 18.9935C36.275 19.4726 36.23 19.9691 36.0501 20.4233C35.8701 20.8775 35.5628 21.27 35.1651 21.5538L32.4614 23.54L37.6414 28.7188C38.3498 29.43 38.7476 30.393 38.7476 31.3969C38.7476 32.4008 38.3498 33.3637 37.6414 34.075L34.0751 37.6413ZM35.8751 30.4863L30.6951 25.3075C30.4344 25.047 30.2336 24.7328 30.1068 24.3868C29.9799 24.0407 29.9299 23.6712 29.9604 23.3039C29.9908 22.9366 30.101 22.5804 30.2831 22.26C30.4653 21.9396 30.7151 21.6628 31.0151 21.4488L33.6989 19.4488L15.1851 15.1763L19.5001 33.7275L19.5139 33.7113L21.4414 31.0125C21.6555 30.7124 21.9325 30.4626 22.253 30.2805C22.5735 30.0983 22.9298 29.9882 23.2972 29.9577C23.6646 29.9272 24.0342 29.9772 24.3803 30.1041C24.7264 30.231 25.0407 30.4318 25.3014 30.6925L30.4864 35.875C30.728 36.1163 31.0555 36.2518 31.397 36.2518C31.7385 36.2518 32.066 36.1163 32.3076 35.875L35.8751 32.3075C36.1161 32.0657 36.2514 31.7383 36.2514 31.3969C36.2514 31.0555 36.1161 30.728 35.8751 30.4863ZM8.14636 9.385C7.98292 9.38706 7.82069 9.35675 7.66901 9.29583C7.51733 9.2349 7.37921 9.14455 7.26261 9.03L4.58011 6.3475C4.35242 6.11175 4.22643 5.796 4.22927 5.46825C4.23212 5.1405 4.36358 4.82699 4.59534 4.59523C4.8271 4.36347 5.14062 4.23201 5.46836 4.22916C5.79611 4.22631 6.11186 4.3523 6.34761 4.58L9.03012 7.2625C9.20107 7.43787 9.31674 7.65959 9.36277 7.90013C9.4088 8.14068 9.38315 8.38944 9.28901 8.61553C9.19487 8.84162 9.03639 9.03508 8.83325 9.17188C8.63011 9.30867 8.39126 9.38278 8.14636 9.385ZM17.9726 9.03C17.7362 9.26044 17.419 9.3894 17.0889 9.3894C16.7587 9.3894 16.4416 9.26044 16.2051 9.03C15.9708 8.79559 15.8391 8.47771 15.8391 8.14625C15.8391 7.8148 15.9708 7.49691 16.2051 7.2625L18.8876 4.58C19.0029 4.46061 19.1409 4.36538 19.2934 4.29987C19.4459 4.23436 19.6099 4.19988 19.7759 4.19844C19.9418 4.197 20.1064 4.22862 20.2601 4.29147C20.4137 4.35432 20.5532 4.44714 20.6706 4.56451C20.788 4.68187 20.8808 4.82144 20.9436 4.97506C21.0065 5.12868 21.0381 5.29328 21.0367 5.45925C21.0352 5.62523 21.0008 5.78925 20.9352 5.94176C20.8697 6.09426 20.7745 6.23219 20.6551 6.3475L17.9726 9.03ZM6.34761 20.655C6.11146 20.886 5.79423 21.0154 5.46386 21.0154C5.1335 21.0154 4.81627 20.886 4.58011 20.655C4.34578 20.4206 4.21413 20.1027 4.21413 19.7713C4.21413 19.4398 4.34578 19.1219 4.58011 18.8875L7.26261 16.205C7.37792 16.0856 7.51585 15.9904 7.66836 15.9249C7.82086 15.8594 7.98489 15.8249 8.15086 15.8234C8.31684 15.822 8.48144 15.8536 8.63506 15.9165C8.78868 15.9793 8.92824 16.0721 9.04561 16.1895C9.16297 16.3069 9.25579 16.4464 9.31864 16.6001C9.38149 16.7537 9.41312 16.9183 9.41168 17.0843C9.41024 17.2502 9.37575 17.4143 9.31024 17.5668C9.24473 17.7193 9.1495 17.8572 9.03012 17.9725L6.34761 20.655ZM12.6176 7.54375C12.2861 7.54375 11.9682 7.41205 11.7337 7.17763C11.4993 6.94321 11.3676 6.62527 11.3676 6.29375V2.5C11.3676 2.16848 11.4993 1.85054 11.7337 1.61612C11.9682 1.3817 12.2861 1.25 12.6176 1.25C12.9491 1.25 13.2671 1.3817 13.5015 1.61612C13.7359 1.85054 13.8676 2.16848 13.8676 2.5V6.29375C13.8676 6.62527 13.7359 6.94321 13.5015 7.17763C13.2671 7.41205 12.9491 7.54375 12.6176 7.54375ZM2.50011 11.3675H6.29387C6.62539 11.3675 6.94333 11.4992 7.17775 11.7336C7.41217 11.968 7.54387 12.286 7.54387 12.6175C7.54387 12.949 7.41217 13.267 7.17775 13.5014C6.94333 13.7358 6.62539 13.8675 6.29387 13.8675H2.50011C2.16859 13.8675 1.85065 13.7358 1.61623 13.5014C1.38181 13.267 1.25011 12.949 1.25011 12.6175C1.25011 12.286 1.38181 11.968 1.61623 11.7336C1.85065 11.4992 2.16859 11.3675 2.50011 11.3675Z" fill="#272727"></path></svg> <!--'end_frame_cache_Zg1Ab0'--> Понять такую логику удобно на примере шахмат. Чёрный король можно описать как деревянную фигуру нужной формы, окрашенную в тёмный цвет, но для математика подобная характеристика почти бесполезна. Гораздо важнее правила движения по доске, способы захвата других фигур, угроза шаха и ограничения, которые задает партия. Чёрный король остается королём даже в виде солонки, если предмет подчиняется тем же правилам.
Категория в таком языке состоит из объектов и морфизмов. Морфизмы – допустимые связи или переходы между объектами. Если представить шахматы как категорию, на схеме появятся клетки или позиции в виде точек, а стрелки покажут разрешенные ходы. Дальше исследователь может сравнивать разные категории, соединять их, накладывать друг на друга и изучать, как одна логическая система сочетается с другой. Для чистой математики такой аппарат давно стал привычным делом. В прикладных задачах смысл шире: категории позволяют собрать единый язык для очень разных частей сложной системы.
Бытовой опыт показывает похожую логику даже без специальных терминов. Никто не путает пять футов и пять долларов, хотя число в записи одно и то же. Длины можно перемножать: 3 фута на 5 футов дают 15 квадратных футов. Денежные суммы так умножать нельзя, потому что квадратных долларов в обычной экономике нет. Зато доллары можно складывать, а ещё сумму можно умножить на обычное число, например на 3. Для теории категорий разница кроется не в цифре, а в типе объекта и в списке допустимых операций.
Категорийный подход описывает денежные величины как объекты категории, связанной с одномерным векторным пространством. Если вообразить числовую прямую, сумма денег похожа на вектор, который начинается в нуле и уходит вправо на определенную длину. Два таких вектора можно сложить, но операция умножения между ними не входит в набор допустимых преобразований внутри данной структуры. Человек на кассе, конечно, не обязан знать про векторы и морфизмы, чтобы не совершать абсурдных вычислений. В сложных моделях, где рядом стоят люди, дозы лекарства, бюджет, риск заражения и интервалы времени, путаница возникает намного легче.
Джон Баез видит здесь одну из главных причин ошибок в прикладных моделях. Обычный программный код может принять число 35 без пояснений. Для машины 35 долларов, 35 человек, 35 доз препарата и 35 градусов выглядят одинаково, если разработчик заранее не задал строгие различия. Такая неразборчивость облегчает ошибки: в одной системе смешиваются сущности, для которых действуют разные правила. Прикладная теория категорий пытается убрать подобную неясность ещё на уровне конструкции модели.
В таком подходе реальная система описывается через объекты и морфизмы, а затем получает строгую логическую форму. Один из создателей Topos Institute в Беркли Брендан Фонг говорит о категориях как о способе упорядочить логические структуры. Смысл не сводится к красивой абстракции ради абстракции. Речь идет о рабочем языке, который помогает собрать вместе разнородные части большой системы без потери смысла на стыках.
Первые шаги в таком направлении уже были. В 2000-х физик Боб Кекке применил категорийный аппарат к квантовой механике, а позднее работа получила продолжение в задачах квантовых вычислений. Примерно тогда же Баез начал думать о биосфере. Независимо от него математик Дэвид Спивак, будущий сооснователь Topos Institute, развивал прикладную теорию категорий на материале баз данных. Спивака привлекала вполне земная задача: сделать сложные системы читаемыми и убрать неоднозначность при передаче информации между людьми, таблицами и программами.
Допустим, бухгалтер описывает, какие сущности живут в корпоративной базе: сотрудники, отделы, суммы, транзакции, контракты. Затем строится формальная схема, где все элементы и связи получают точное место. Затем схему можно соединить с другими категориями, которые соответствуют соседним таблицам, сервисам или электронным листам, и постепенно собрать модель всей компании.
Именно поэтому Баез когда-то увидел в теории категорий шанс для климатологии. Климатическая наука пытается описать, пожалуй, самую большую систему из доступных исследователю – Землю. В работу нужно связать атмосферу, океаны, лед, облака, почвы, биологические процессы, потоки энергии, огромные массивы наблюдений и вычислительные прогнозы. У каждой подсистемы свой набор методов, параметров и данных. Собрать такую конструкцию в единую логичную схему чрезвычайно трудно. Категорийный аппарат, по замыслу Баеза, мог бы навести в такой сборке больше строгости и облегчить подключение новых данных.
До климатической науки прикладная теория категорий, однако, почти не добралась. Сами исследователи признают: реального влияния на климатические модели у направления пока нет. Причина не в слабости климатологии, а скорее в зрелости существующих систем. Рабочие модели уже достаточно сложны и полезны, чтобы научное сообщество не спешило перестраивать архитектуру с нуля ради большей математической аккуратности. Сторонники категорийного подхода уверены, что строгая сборка сделала бы модели прочнее, гибче и удобнее для интеграции новых знаний. Проблема в цене перехода. Такой шаг требует времени, денег и доверия, а отдача приходит не сразу.
Ситуация в эпидемиологии выглядит заметно живее. Баез сотрудничает с Topos Institute и канадским специалистом по компьютерным наукам Нейтом Осгудом, который занимается моделированием вспышек заболеваний в Университете Саскачевана и участвовал в работе над ответом Канады на пандемию. Осгуд столкнулся с практической трудностью: существующее программное обеспечение плохо соединяло знания из разных областей. Для прогноза эпидемии нужны медицина, демография, социальная статистика, логистика, поведенческие науки и данные системы здравоохранения. Обычные инструменты не давали удобного способа собрать всё это в одну согласованную картину.
В эпидемиологии давно используют схемы stock-and-flow. По-русски речь идет о диаграммах запасов и потоков. В одной группе находятся восприимчивые к инфекции, в другой заражённые, в третьей выздоровевшие, в четвёртой умершие. Стрелки между блоками показывают переходы, которые зависят от заразности возбудителя, частоты контактов, уровня защиты или неравенства в доступе к медицине. Для теории категорий такая диаграмма выглядит почти родной: состояния играют роль объектов, а переходы между состояниями становятся морфизмами. По расположению блоков и стрелок затем записываются уравнения, описывающие, как вся система меняется во времени.
За последние годы команда Баеза, Осгуда и коллег выпустила программный пакет StockFlow , который как раз формализует такую логику. Подход позволяет разным специалистам отдельно описывать свои участки модели, а затем собирать более крупную конструкцию. Один исследователь может разобрать влияние социального неравенства на риск заражения у уязвимых групп. Другой добавит роль вакцинации. Третий опишет госпитализации или изменения в поведении населения. Категорийный аппарат помогает соединить такие части в общую схему без потери смысла на границах между дисциплинами.
Широкого распространения среди эпидемиологов StockFlow тоже пока не получил. Внутри математического сообщества работу, однако, считают вполне серьезной, а не чисто философской. Осгуд уже учит студентов пользоваться таким подходом и рассчитывает, что следующему поколению моделистов строгая формализация покажется не экзотикой, а обычным рабочим инструментом.
Ещё одно поле для применения связано с безопасностью искусственного интеллекта. Исследователи Амар Хаджихасанович и Маттео Капуччи участвуют в проекте Safeguarded AI, который финансирует британское агентство ARIA. Проект отвечает на очень жесткий вопрос: как доверить системам ИИ управление критически важной инфраструктурой, если сами алгоритмы порой ведут себя непредсказуемо и допускают ошибки? Речь идет о средах, где сбой слишком дорог: атомные станции, электросети и другие сложные объекты реального мира.
Команда предлагает строить формальные модели сложных систем, на которых ИИ сможет отрабатывать действия до выхода в реальную среду. Для такой тренировки модель должна воспроизводить логическую структуру настоящего объекта, включая связи между множеством разных сущностей. Здесь снова пригодилась главная сильная сторона теории категорий – модульность и умение собирать большую схему из строго описанных частей. Авторы проекта считают, что подобную технологию можно будет использовать во множестве ситуаций, где надежность важнее эффектной демонстрации.
У сторонников направления есть общее ощущение, что ценность такого подхода будет расти вместе со сложностью мира. Системы становятся плотнее связаны друг с другом, зависимостей становится больше, роль ИИ расширяется. В такой среде все труднее полагаться на приблизительные решения, собранные на глазок. Ошибка в одном слое может быстро перейти в другой и вызвать цепочку сбоев.
Главная претензия Баеза к нынешнему способу описывать живые системы касается самой рамки мышления. Биологию слишком часто пытаются уложить в инженерную схему: на вход подаются вещество и энергия, на выходе получается полезный результат и побочные отходы. Такой взгляд удобен для машин, но плохо подходит для жизни. Инженерная оптика заставляет сосредоточиться на нужной человеку части процесса и отбросить всё остальное – происхождение энергии, судьбу отходов, побочные связи и обмены, без которых экосистема вообще не существует.
Живая природа устроена иначе. Эволюция не собирала организмы как механизмы для одной заранее заданной цели. Гены не похожи на отдельные шестеренки с фиксированными ролями: один и тот же ген может участвовать сразу во множестве процессов и влиять на разные уровни организации. В экосистеме отходы одного существа становятся пищей для другого. Граница между полезным и бесполезным здесь проходит совсем не так, как на фабрике. Поэтому Баез полагает, что для биологии и экологии могут понадобиться новые категории с логическими структурами, которых математика пока ещё не выработала.
- Источник новости
- www.securitylab.ru
